单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A, B$ 都是可逆矩阵, 且 $A$ 与 $B$ 相似, 则下列结论不一定正确的是
$\text{A.}$ $ A^T$ 与 $B^T$ 相似
$\text{B.}$ $A^{-1}$ 与 $B^{-1}$ 相似
$\text{C.}$ $ A+A^{-1}$ 与 $B+B^{-1}$ 相似
$\text{D.}$ $A+A^T$ 与 $B+B^T$ 相似
设 $\boldsymbol{A}$ 为 2 阶实对称矩阵, 特征值为 $\lambda_1, \lambda_2, \boldsymbol{B}$ 为 2 阶正定矩阵, 特征值为 $\mu_1, \mu_2$. 记 $M=\max _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}, m=\min _{\boldsymbol{x} \neq 0} \frac{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A x}}{\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{B} \boldsymbol{x}}$, 则 $M m=(\quad)$
$\text{A.}$ $\lambda_1 \lambda_2$.
$\text{B.}$ $\frac{\mu_1 \mu_2}{\lambda_1 \lambda_2}$.
$\text{C.}$ $\frac{\lambda_1 \lambda_2}{\mu_1 \mu_2}$.
$\text{D.}$ 由已知条件不能确定.
设 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,3)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_1=(0,1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_2=(-3,2,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_3=(-2,-1,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\beta}_4=(-3,0,1)^{\mathrm{T}}$, 且 $\boldsymbol{A}_i=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\beta}_i^{\mathrm{T}}, i=1,2,3,4$, 则矩阵 $\boldsymbol{A}_i, i=1,2,3,4$ 中不能相似于对角矩阵的是
$\text{A.}$ $\boldsymbol{A}_1$.
$\text{B.}$ $\boldsymbol{A}_2$.
$\text{C.}$ $\boldsymbol{A}_3$.
$\text{D.}$ $\boldsymbol{A}_4$.
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为 3 阶矩阵且 $\boldsymbol{A}$ 不可逆, 又 $\boldsymbol{A B}+2 \boldsymbol{B}=\boldsymbol{O}$ 且 $r(\boldsymbol{B})=2$, 则 $|\boldsymbol{A}+4 \boldsymbol{E}|=$.
$\text{A.}$ 8
$\text{B.}$ 16
$\text{C.}$ 12
$\text{D.}$ 0
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 1 & 1 \\ a & b & c & d \\ a^2 & b^2 & c^2 & d^2\end{array}\right)$, 其中 $a, b, c, d$ 互不相同, $M_i(i=1,2,3,4)$ 为 $\boldsymbol{A}$ 划掉第 $i$ 列后所得 3 阶矩阵的行列式, $\boldsymbol{b}=\left(1, a, a^2\right)^{\mathrm{T}}$. 若 $\boldsymbol{\xi}_1, \boldsymbol{\xi}_2$ 是 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}$ 的两个不同的解,则
$\text{A.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1-\boldsymbol{\xi}_2=k\left(M_1, M_2, M_3, M_4\right)^{\mathrm{T}}$.
$\text{B.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1-\boldsymbol{\xi}_2=k\left(-\boldsymbol{M}_1, \boldsymbol{M}_2,-\boldsymbol{M}_3, \boldsymbol{M}_4\right)^{\mathrm{T}}$.
$\text{C.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2=k\left(-M_1,-M_2, M_3, M_4\right)^{\mathrm{T}}+(2,0,0,0)^{\mathrm{T}}$.
$\text{D.}$ 存在非零常数 $k$, 使得 $\boldsymbol{\xi}_1+\boldsymbol{\xi}_2=k\left(-M_1, M_2,-M_3, M_4\right)^{\mathrm{T}}+(1,0,0,0)^{\mathrm{T}}$.
设 $\eta_1, \eta_2$ 是 3 元非齐次线性方程组 $A x=b$ 的两个不同解, 且 $r(A)=2$, 则方程组 $A x=b$ 的通解为
$\text{A.}$ $\eta_1+k \eta_2(k \in R)$
$\text{B.}$ $\eta_1+k\left(\eta_1-\eta_2\right)(k \in R)$
$\text{C.}$ $k\left(\eta_1-\eta_2\right)(k \in R)$
$\text{D.}$ $\eta_1+k\left(\eta_1+\eta_2\right)(k \in R)$