解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n}\left(\frac{1}{\sqrt{4 n^2+1}}+\frac{2}{\sqrt{4 n^2+2}}+\cdots+\frac{n}{\sqrt{4 n^2+n}}\right)$.
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(2+3 \sin x)^x-2^x}{\tan ^2 x-4 x^3}$.
已知曲线的极坐标方程是 $r=1-\cos \theta$ ，求该曲线上对应于 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处的切线与法线的直角坐标方程.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_1=1, x_{n+1}=\frac{x_n+2}{x_n+1}\left(n \in \mathbb{Z}^{+}\right)$， 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在且求极限值 $A$.
证明导函数的介值性: 若 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上可导且 $f_{+}^{\prime}(a) f_{-}^{\prime}(b) < 0$ ，则存在 $\xi \in(a, b)$ 使得 $f^{\prime}(\xi)=0$.
计算定积分 $I=\int_0^1 x^3 \sqrt{1-x^2} \mathrm{~d} x$.