解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $\left\{x_k\right\}_{k \in \mathbb{N}}$ 是 $[0,1]$ 中所有有理数组成的序列, 定义 $D=[0,1] \times[0,1]$ 上的函数 $f(x, y)$ 如下:
问： $f(x, y)$ 是否在 $D$ 上可积? 如可积, 求其积分值。
计算 $\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_x^{\sqrt{x}} \frac{\sin y}{y} \mathrm{~d} y$.
讨论 $\iint_{\mathbb{R}^2} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{\left(x^2+y^2\right)^\alpha}$ 的敛散性。
计算 $\iint_{y \geq x^2+1} \frac{\mathrm{d} x \mathrm{~d} y}{x^4+y^2}$.
计算第二型曲线积分 $\int_{\Gamma} x \mathrm{~d} x+y \mathrm{~d} y+z \mathrm{~d} z$, 其中 $\Gamma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$与平面 $x+y+z=0$ 的交线, 从 $z$ 轴看取逆时针方向。
计算第二型曲线积分 $\iint_S x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z+y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$, 其中 $S$ 为三个坐标平面与平面 $x+y+z=1$ 所围成的四面体的外侧。