单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 存在是 $f(x, y)$ 在该点连续的
$\text{A.}$ 充分条件而非必要条件.
$\text{B.}$ 必要条件而非充分条件.
$\text{C.}$ 充分必要条件.
$\text{D.}$ 既非充分条件又非必要条件.
已知 $\frac{(x+a y) \mathrm{d} x+y \mathrm{~d} y}{(x+y)^{2}}$ 为某函数的全微分, 则 $a$ 等于 ( )
$\text{A.}$ $-1$.
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设函数 $f(x)$ 及 $g(x)$ 都在 $x=a$ 处取得极大值，则函数 $F(x)=f(x) g(x)$ 在 $x=a$.
$\text{A.}$ 必取极大值
$\text{B.}$ 必取极小值
$\text{C.}$ 不可能取极值
$\text{D.}$ 是否取极值不能确定
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $u=\mathrm{e}^{-x} \sin \frac{x}{y}$, 则 $\frac{\partial^{2} u}{\partial x \partial y}$ 在点 $\left(2, \frac{1}{\pi}\right)$ 处的值为
解答题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $z=f(2 x-y)+g(x, x y)$, 其中函数 $f(t)$ 二阶可导, $g(u, v)$ 具有连续的二阶偏导数, 求 $\frac{\partial^{2} z}{\partial x \partial y}$.
设半径为 $R$ 的球面 $\Sigma$ 的球心在定球面 $x^{2}+y^{2}+z^{2}=a^{2}(a>0)$ 上, 问当 $R$ 取何值时, 球面 $\Sigma$ 在定 球面内部的那部分的面积最大?