单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设椭圆 $C_1: \frac{x^2}{a^2}+y^2=1(a>1), C_2: \frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的离心率分别为 $e_1, e_2$. 若 $e_2=\sqrt{3} e_1$, 则 $a=$
$\text{A.}$ $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$
$\text{B.}$ $\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt{3}$
$\text{D.}$ $\sqrt{6}$
过点 $(0,-2)$ 与圆 $x^2+y^2-4 x-1=0$ 相切的两条切线的夹角为 $\alpha$, 则 $\sin \alpha=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{15}}{4}$
$\text{C.}$ $\frac{\sqrt{10}}{4}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{6}}{4}$
已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>0, b>0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，其中一条渐近线与圆 $(x-2)^2+(y-3)^2=1$ 交于 $A ， B$ 两 点, 则 $|A B|=$
$\text{A.}$ $\frac{1}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{5}}{5}$
$\text{C.}$ $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{4 \sqrt{5}}{5}$
已知椭圆 $\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{6}=1 ， F 1 、 F 2$ 为两个焦点， $O$ 为原点， $\mathrm{P}$ 为椭有圆上一点， $\cos \angle F_1 P F_2=\frac{3}{5}$ ，则 $|O P|=$
$\text{A.}$ $\frac{2}{5}$
$\text{B.}$ $\frac{\sqrt{30}}{2}$
$\text{C.}$ $\frac{3}{5}$
$\text{D.}$ $\frac{\sqrt{35}}{2}$
设 $A, B$ 为双曲线 $x^2-\frac{y^2}{9}=1$ 上两点, 下列四个点中, 可为线段 $A B$ 中点的是
$\text{A.}$ $(1,1)$
$\text{B.}$ $(-1,2)$
$\text{C.}$ $(1,3)$
$\text{D.}$ $(-1,-4)$
在平面上, 若曲线 $\Gamma$ 具有如下性质: 存在点 $M$, 使得对于任意点 $P \in \Gamma$, 都有 $Q \in \Gamma$ 使得 $|P M| \cdot|Q M|=1$,
则称这条曲线为 “自相关曲线” . 关于以下两个结论, 正确的判断是 ( )
(1) 所有椭圆都为 “自相关曲线” ; (2)存在双曲线是 “自相关曲线” .
$\text{A.}$ (1)成立, (2)成立;
$\text{B.}$ (1)成立, (2)不成立;
$\text{C.}$ (1)不成立, (2)成立;
$\text{D.}$ (1)不成立, (2)不成立.