填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\left\{\begin{array}{c}x=\sqrt{t^2+1} \\ y=\ln \left(t+\sqrt{t^2+1}\right)\end{array}\right.$, 则 $\left.\frac{d^2 y}{d x^2}\right|_{t=1}=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $y(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{4 n}}{(4 n)!},-\infty < x < +\infty$.
(1) 验证 $y=y(x)$ 满足微分方程 $y^{\prime \prime}-y=-\cos x$ ；
(2) 试求 $y(x)$ 的表达式.
设函数 $f(u, v)$ 具有二阶连续偏导数， $y=f\left(e^x, \cos x\right)$ ，求 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0},\left.\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}$.
求 $y=x^2 \sin 2 x$, 求 $y^{(50)}$.
设 $D$ 是由 $x$ 轴， $y$ 轴和直线 $x+y=2$ 所围成的区域，计算
$$
I=\iint_D e^{\frac{y-x}{y+x}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y
$$
证明级数 $\lim _{\substack{n \rightarrow \infty \\ m \rightarrow \infty}} \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n(-1)^{i+j} \frac{1}{i+j}=\ln 2-\frac{1}{2}$.