单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
已知向量 $\alpha_1=(1,0,1)^T, \alpha_2=(1,2,1)^T, \alpha_3=(3,1,2)^T$, 记 $\beta_1=\alpha_1, \beta_2=\alpha_2-k \beta_1$, $\beta_3=\alpha_3-l_1 \beta_1-l_2 \beta_2$, 若 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 两两正交, 则 $l_1, l_2$ 依次为 ( ).
$\text{A.}$ $\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{C.}$ $\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$;
$\text{D.}$ $-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$.
设 A 是一个 $n (\geqslant 3)$ 阶方阵，下列陈述中正确的是（ ）
$\text{A.}$ 如存在数 $\lambda$ 和向量 $a$ 使 $A a =\lambda a$ ，则 $a$ 是 $A$ 的属于特征值 $\lambda$ 的特征向量
$\text{B.}$ 如存在数 $\lambda$ 和非零向量 $a$ ，使 $(\lambda E - A ) a =0$ ，则 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值
$\text{C.}$ A 的 2 个不同的特征值可以有同一个特征向量
$\text{D.}$ 如 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 是 $A$ 的 3 个互不相同的特征值， $a _1, a _2, a _3$ 依次是 $A$ 的属于 $\lambda_1, \lambda_2$ ， $\lambda_3$ 的特征向量，则 $a _1, a _2, a _3$ 有可能线性相关
n 维向量组 $a_1 \cdots \cdots a_i \quad(2 < I < n)$ 线性无关的充要条件是
$\text{A.}$ 存在一组不全为 0 的常数 $k_1 \cdots \cdots k_i$ 使 $k_1 a_1+\cdots \cdots+k_i a_i \neq 0$
$\text{B.}$ 该组中任意两向量都线性无关
$\text{C.}$ 该组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示
$\text{D.}$ 该组中任意向量都不能用其余向量线性表示
设 $A$ 是实对称矩阵， $C$ 是实可逆矩阵， $B = C ^{ T } A C$ ．则（）
$\text{A.}$ $A$ 与 $B$ 相似
$\text{B.}$ $A$ 与 $B$ 不等价
$\text{C.}$ A 与 B 有相同的特征值
$\text{D.}$ $A$ 与 $B$ 合同
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}0 & 10 & 6 \\ 1 & -3 & -3 \\ -2 & 10 & 8\end{array}\right)$ ，已知 $a =\left(\begin{array}{c}2 \\ -1 \\ 2\end{array}\right)$ 是它的一个特征向量，则 $a$ 所对应的特征值为
设 $A = E -2 \xi \xi ^{ T }$ ，其中 $\xi =\left[x_1, x_2, \cdots, x_n\right]^{ T }$ ，且 $\xi ^{ T } \xi =1$ ．证明：
（1） $A$ 是对称矩阵；
（2） $A ^2= E$ ；
（3） $A$ 是正交矩阵．