解答题 （共 20 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 3 \\ -1 & 2 & -3 \\ 1 & 4 & -3\end{array}\right], \xi _1=\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ -1\end{array}\right]$, 记满足 $A \xi _2=2 \xi _1, A ^2 \xi _3=6 \xi _1$ 的向量为 $\xi _2, \xi _3$ ，证明:对任意满足条件的向量 $\xi_2, \xi_3$ ，都有 $\xi_1, \xi_2, \xi_3$ 线性无关.
设
$$
A=\left(\begin{array}{ccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} \\
a_{21} & a_{22} & a_{23} \\
a_{31} & a_{32} & a_{33}
\end{array}\right)
$$
为实数域 $R$ 上的 $3 \times 3$ 不可逆方阵. 若 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 为
$$
A^*=\left(\begin{array}{lll}
a_{11}^2 & a_{12}^2 & a_{13}^2 \\
a_{21}^2 & a_{22}^2 & a_{23}^2 \\
a_{31}^2 & a_{32}^2 & a_{33}^2
\end{array}\right),
$$
求 $A$.
若二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2-2 x_1 x_3$ 经可逆线性变换 $x = P y$ 化为二次型 $g\left(y_1, y_2, y_3\right)=y_1^2+5 y_2^2+8 y_3^2+4 y_1 y_2-4 y_1 y_3-4 y_2 y_3$, 求 $a$ 与矩阵 $P$.
设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2, \lambda_1=\lambda_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值。若 $\alpha _1=(1, a, 0)^{ T }, \alpha _2=(2$, $1,1)^{ T }, \alpha _3=(0,1,-1)^{ T }$ 都是矩阵 $A$ 属于特征值 6 的特征向量.
(I) 求 $a$ 的值;
(II) 求 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量;
(III) 若 $\beta =(-2,2,-1)^{ T }$, 求 $A ^n \beta$.
(1) $A$ 是 $n$ 阶实对称矩阵. $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 是 $A$ 的特征值, $\xi_1, \xi_2, \cdots, \xi_n$ 是 $A$ 的分别对应于 $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_n$ 的标准正交特征向量. 证明 $A$ 可表示成 $n$ 个秩为 1 的实对称矩阵的和;
(2) 设 $A=\left[\begin{array}{ccc}0 & -1 & 4 \\ -1 & 3 & -1 \\ 4 & -1 & 0\end{array}\right]$, 将 $A$ 表示成三个秩为 1 的实对称矩阵的和.
设 $A=\left[\begin{array}{llll}2 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 1 & a & b & 1\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right]$, 已知 $\left[\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right]$ 是线性方程组 $A X=b$ 的一个解, 求线性方程组 $A X=b$ 的通解.
已知向量组 $\alpha_1=\left[\begin{array}{llll}1 & 2 & 1 & 0\end{array}\right]^{ T }, \alpha_2=\left[\begin{array}{llll}1 & 3 & 2 & -1\end{array}\right]^{ T }$,
$$
\alpha_3=\left[\begin{array}{llll}
1 & a & 0 & 1
\end{array}\right]^{T}, \alpha_4=\left[\begin{array}{llll}
2 & 7 & 3 & a-2
\end{array}\right]^{T},
$$
$\beta=\left[\begin{array}{llll}3 & 8 & 4 & b-1\end{array}\right]^{ T }$, 讨论 $a, b$ 为何值时 $\beta$ 可由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4$ 唯一线性表示; 能线性表示但不唯一; 不能线性表示.
设向量组 $A: a_1, a_2, a_3$ 线性无关, 向量 $b_1$ 能由向量组 $A$ 线性表示, 向量 $b_2$ 不能由向量组 $A$ 线性表示, $k$ 为任意常数. 问:
(1) 向量组 $a_1, a_2, a_3, k b_1+b_2$ 是否线性相关, 为什么?
(2) 向量组 $a _1, a _2, a _3, b _1+k b _2$ 是否线性相关, 为什么?
二次型
$$
\begin{aligned}
& f(x, y)=3 x^2+2 \sqrt{3} x y+5 y^2 \\
& g(u, v)=6 u^2+2 v^2
\end{aligned}
$$
试求可逆矩阵 $C$ ，使得 $f$ 的二次型矩阵 $A$ 与 $g$ 的二次型矩阵 $B$ 合同，即 $B=C^{ T } A C$.
设有线性方程组
$$
\left(\begin{array}{ccc}
1 & \lambda-1 & -2 \\
0 & \lambda-2 & \lambda+1 \\
0 & 0 & 2 \lambda+1
\end{array}\right)\left(\begin{array}{l}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}
1 \\
3 \\
5
\end{array}\right),
$$
问 $\lambda$ 为何值时（1）有惟一解；（2）无解；（3）有无限多解? 并在有无限多解时求其通解.
设 $A , B$ 均为 3 阶矩阵, $E$ 为 3 阶单位矩阵, 已知 $A B =2 A + B , B =\left[\begin{array}{lll}2 & 0 & 2 \\ 0 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2\end{array}\right]$, 求 $A - E$.
计算二阶行列式 $\left|\begin{array}{cc}1 & \log _a a \\ \log _a b & 1\end{array}\right|$
已知 $\xi =\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$ 是矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right)$ 的特征向量。
(1) 求常数 $a, b$ 及 $\xi$ 所对应的特征值;
(2) 问 $A$ 是否能对角化? 请说明理由。
$A=\left(\begin{array}{cccc}a & b & c & d \\ -b & a & -d & c \\ -c & d & a & -b \\ -d & -c & b & a\end{array}\right)$, 求 $|A|$ 。
计算 $D=\left|\begin{array}{cccccc}0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & \vdots & 2 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 2012 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 2013 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 2014\end{array}\right|$ 。
计算 5 阶行列式：$D=\left|\begin{array}{ccccc}a+1 & 0 & 0 & 0 & a+2 \\ 0 & a+5 & 0 & a+6 & 0 \\ 0 & 0 & a+9 & 0 & 0 \\ 0 & a+7 & 0 & a+8 & 0 \\ a+3 & 0 & 0 & 0 & a+4\end{array}\right|$ 的
值。
$\left|\begin{array}{cccc}
a & b & c & d \\
p & q & r & s \\
t & u & v & w \\
l a+m p & l b+m q & l c+m r & l d+m s
\end{array}\right|$
计算 $\left|\begin{array}{ccccccc}
1 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\
& \ldots \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \cdots & \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 1 & 1 \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 1
\end{array}\right|$
设 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\ -2 & 4 & 0\end{array}\right)$ ．求（1） $A B ^{ T }$ ；（2）$|4 A |$ ．
设 $A$ 是 $n$ 阶矩阵，且满足 $A ^2= A$（此时 $A$ 称为幂等矩阵）．
（1）求 $A$ 的特征值可能的取值；
（2）证明： $E + A$ 是可逆矩阵．