单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
已知函数 $f(x)$ 在区间 $(1-\delta, 1+\delta)$ 内具有二阶导数， $f^{\prime}(x)$ 严格单调减少，且 $f(1)=f^{\prime}(1)=1$ ，则
$\text{A.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x) < x$
$\text{B.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 和 $(1,1+\delta)$ 内均有 $f(x)>x$
$\text{C.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 内， $f(x) < x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内， $f(x)>x$
$\text{D.}$ 在 $(1-\delta, 1)$ 内， $f(x)>x$ ，在 $(1,1+\delta)$ 内， $f(x) < x$
设 $f(x)=3 x^3+x^2|x|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n$ 为
$\text{A.}$ 0 .
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2 .
$\text{D.}$ 3.
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
函数 $f(x)=x e^x$ 的带有皮亚诺型余项的 $n$ 阶麦克劳林公式为 ( ).
$\text{A.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+o\left(x^n\right)$
$\text{B.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{(n-1)!}+o\left(x^n\right)$
$\text{C.}$ $x e^x=x+\frac{x^2}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n}+o\left(x^n\right)$
$\text{D.}$ $x e^x=x+x^2+\frac{x^3}{2}+\cdots+\frac{x^n}{n-1}+o\left(x^n\right)$
设函数 $f(x), g(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内有定义且恒不为零．若当 $x \rightarrow 0$ 时， $f(x)$ 是 $g(x)$ 的高阶无穷小，则当 $x \rightarrow 0$ 时，（ ）。
$\text{A.}$ $f(x)+g(x)=o(g(x))$
$\text{B.}$ $f(x) g(x)=o\left(f^2(x)\right)$
$\text{C.}$ $f(x)=o\left( e ^{g(x)}-1\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=o\left(g^2(x)\right)$
已知奇函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 的某邻域内三阶可导，则极限 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)-t f^{\prime}(t)}{\int_0^{\sqrt{t}} d x \int_{x^2}^t \sin \left(\sqrt{y} x^2\right) d y}=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $3 f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{B.}$ $-3 f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{C.}$ $-\frac{3}{2} f^{\prime \prime \prime}(0)$
$\text{D.}$ $\frac{3}{2} f^{\prime \prime \prime}(0)$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=\frac{1-x+x^2}{1+x+x^2}$ ，则 $f^{(3 n+1)}(0)=$ $\qquad$ ，其中 $n=0,1,2, \cdots$.
设 $x=t^3+2 t+1, \int_0^{y+t} e ^{-u^2} d u=t$, 则 $\left.\frac{ d ^2 y}{d x^2}\right|_{t=0}=$
$\sum_{k=1}^{\infty} \frac{6^k}{\left(3^k-2^k\right)\left(3^{k+1}-2^{k+1}\right)}=$
已知 $f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a) h+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2} h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!} h^n+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!} h^{n+1}(0 < \theta < 1)$,若 $f^{(n+2)}(x)$ 连续, 且 $f^{(n+2)}(x) \neq 0$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \theta=$
已知连续函数 $f(x)$ 满足 $f(x)= e ^{-x}-\int_0^x t\left[3 f^{\prime}(x-t)+2 f(x-t)\right] d t$ ，且 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $x$ 的高阶无穷小．
（1）求 $f(x)$ 的表达式；
（2）求曲线 $\frac{f(x)}{x^{\frac{3}{2}}}$ 与 $y$ 轴及 $x$ 轴正半轴所围图形绕 $y$ 轴旋转一周所得旋转体的体积 $V$ ．
解答题 （共 12 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求函数 $f(x)=x^2 \ln (1+x)$ 在 $x=0$ 处的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(0)(n \geq 3)$.
设 $f(x)$ 具有二阶导数，且 $f^{\prime}(0)=f^{\prime}(1),\left|f^{\prime \prime}(x)\right| \leq 1$.
证明：（1）当 $x \in(0,1)$ 时，有
$$
|f(x)-f(0)(1-x)-f(1) x| \leq \frac{x(1-x)}{2}
$$
(2) $\left|\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x-\frac{f(0)+f(1)}{2}\right| \leq \frac{1}{12}$.
设 $f(x)=\left(x^2-3 x+2\right)^n \cos \frac{\pi x^2}{16}$, 求 $f^{(n)}(2)$.
设 $s \geqslant 0$, $\varphi(s)=\int_0^{+\infty} \frac{\ln \left(1+s x^2\right)}{x\left(1+x^2\right)} d x$
求 $\varphi(1)$ 和 $\varphi(2)$.
讨论以下级数的收敛性:
$$
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n+(-1)^{[\sqrt{n}]}}, \quad \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}+(-1)^{[\sqrt{n}]}},
$$
其中 $[x]$ 表示 $x$ 的整数部分.
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足: $x_1=2, x_{n+1}=\frac{x_n^2}{1-x_n+x_n^2}(n=1,2, \cdots)$
(1) 证明: $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在, 并求其值;
(2) 求 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\left(\frac{1}{x_1}-1\right)^2+\left(\frac{1}{x_2}-1\right)^2+\cdots+\left(\frac{1}{x_n}-1\right)^2\right]$.
设幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} u_n(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$, 其中 $a_0=0, a_1=1$, 且满足 $\frac{1}{n+2} a_{n+2}=\frac{2}{n(n+1)} a_n$, 求
(1) 级数的收敛域;
(2) 幂级数的和函数 $S(x)$.
设 $f(x)=e^x \cos x$, 求 $f^{(n)}(x)$ 。
设函数 $f(x)=\arctan \frac{1+x}{1-x}$,
(1) 将 $f(x)$ 展开成 $x$ 的幂级数, 并求收敛域; (2) 利用展开式求 $f^{(101)}(0)$.
求幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)(n+3) x^n$ 的收敛域及和函数。
求函数 $S(x)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n 2^n} x^n$ 在 $x=1$ 处的 Taylor 展开式及所求展开式的收敛域。
验证函数 $y=x+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}+\cdots+\frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}+\cdots(-\infty < x < +\infty)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}=e^x$,并用此结果求 $\sum_0^{\infty} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}$ 的和函数。