单选题 （共 7 题 ），每题只有一个选项正确
设二维随机变量 $(X, Y)$ 服从二维正态分布，则随机变量 $\xi=X+Y$ 与 $\eta=X-Y$ 不相关的充分必要条件为
$\text{A.}$ $E(X)=E(Y)$
$\text{B.}$ $E\left(X^2\right)-[E(X)]^2=E\left(Y^2\right)-[E(Y)]^2$
$\text{C.}$ $E\left(X^2\right)=E\left(Y^2\right)$
$\text{D.}$ $E\left(X^2\right)+[E(X)]^2=E\left(Y^2\right)+[E(Y)]^2$
设 $A, B, C$ 三个事件两两独立，则 $A, B, C$ 相互独立的充分必要条件是 $X=$
$\text{A.}$ $A$ 与 $B C$ 独立
$\text{B.}$ $A B$ 与 $A \cup C$ 独立
$\text{C.}$ $A B$ 与 $A C$ 独立
$\text{D.}$ $A \cup B$ 与 $A \cup C$ 独立
在电炉上安装 4 个温控器，其显示温度的误差是随机的. 在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度 $t_0$ ，电炉就断电. 以 $E$ 表示事件“电炉断电”，设
$$
T_{(1)} \leq T_{(2)} \leq T_{(3)} \leq T_{(4)}
$$
为 4 个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则事件 $E$ 等于事件
$\text{A.}$ $\left\{T_{(1)} \geq t_0\right\}$
$\text{B.}$ $\left\{T_{(2)} \geq t_0\right\}$
$\text{C.}$ $\left\{T_{(3)} \geq t_0\right\}$
$\text{D.}$ $\left\{T_{(4)} \geq t_0\right\}$
将一枚硬币重复掷 $n$ 次，以 $X$ 和 $Y$ 分别表示正面向上和反面向上的次数，则 $X$ 和 $Y$ 的相关系数等于
$\text{A.}$ -1
$\text{B.}$ 0
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{D.}$ 1
设 $X_1$ 和 $X_2$ 是任意两个相互独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ ，分布函数分别为 $F_1(x)$ 和 $F_2(x)$ ，则
$\text{A.}$ $f_1(x)+f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度
$\text{B.}$ $f_1(x) f_2(x)$ 必为某一随机变量的概率密度
$\text{C.}$ $F_1(x)+F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数
$\text{D.}$ $F_1(x) F_2(x)$ 必为某一随机变量的分布函数
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 都服从标准正态分布，则
$\text{A.}$ ${X}+{Y}$ 服从正态分布
$\text{B.}$ $X^2+Y^2$ 服从 $\chi^2$ 分布
$\text{C.}$ $X^2$ 和 $Y^2$ 都服从 $\chi^2$ 分布
$\text{D.}$ $X^2 / Y^2$ 服从 $F$ 分布
设随机变量 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 相互独立，
$$
S_n=X_1+X_2+\cdots+X_n
$$
则根据列维一林德柏格中心极限定理，当 $n$ 充分大时， $S_n$ 近似服从正态分布, 只要 $X_1, X_2, \cdots, X_n$
$\text{A.}$ 有相同的数学期望
$\text{B.}$ 有相同的方差
$\text{C.}$ 服从同一指数分布
$\text{D.}$ 服从同一离散型分布
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设两个相互独立的事件 $A$ 和 $B$ 都不发生的概率为 $\frac{1}{9} ， A$ 发生 $B$ 不发生的概率与 $B$ 发生 $A$ 不发生的概率相等，则 $P(A)=$
设随机变量$X$的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
1 / 3, x \in[0,1] \\
2 / 9, x \in[3,6] ， \\
0, \quad \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
若$k$ 使得 $P\{X \geq k\}=\frac{2}{3}$ ，则 $k$ 的取值范围是
假设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 在区间 $[-1,2]$ 上服从均匀分布，随机变量 $Y=\left\{\begin{array}{ll}1, & X>0 \\ 0, & X=0 \\ -1, & X < 0\end{array}\right.$, 则方差 $D Y=$
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的方差是 2 ，则根据切比雪夫不等式有估计
$$
P\{|X-E(X)| \geq 2\} \leq
$$
设随机变量 $X, Y$ 的数学期望都是 2 ，方差分别为 1 和 4 ，而相关系数为 0.5 . 则根据切比雪夫不等式
$$
P\{|X-Y| \geq 6\} \leq
$$
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(0,0.2^2\right)$ ，而 $X_1, X_2, \cdots X_{15}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则随机变量
$Y=\frac{X_1^2+\cdots+X_{10}^2}{2\left(X_{11}^2+\cdots+X_{15}^2\right)}$ 服从 $\qquad$分布，参数为
设随机变量 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，且二次方程 $y^2+4 y+X=0$ 无实根的概率为 $\frac{1}{2}$ ，则 $\mu=$
随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的联合概率分布为
则 $X^2$ 和 $Y^2$ 的协方差 $\operatorname{cov}\left(X^2, Y^2\right)=$ $\qquad$ ， $X$ 和 $Y$的相关系数 $\rho=$ $\qquad$ .
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x, \theta)=\left\{\begin{array}{ll}e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta \\ 0, & x < \theta\end{array}\right.$ ，而 $X_1, X_2, \cdots, X_n$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本，则未知参数 $\theta$ 的矩估计量为 $\qquad$
解答题 （共 15 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
某流水生产线上每一个产品不合格的概率为
$$
p(0 < p < 1) \text { ， }
$$
各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修. 设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为 $\boldsymbol{X}$ ，求 $\boldsymbol{X}$的数学期望 $E(X)$ 和方差 $D(X)$
设某种元件的使用寿命 $X$ 的概率密度为
$$
f(x, \theta)= \begin{cases}2 e^{-2(x-\theta)}, & x>\theta \\ 0, & x \leq \theta\end{cases}
$$
其中 $\theta>0$ 为未知参数. 又设 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是 $X$ 的一组样本观测值，求参数 $\theta$ 的最大似然估计.
假设 $0.50,1.25,0.80,2.00$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本值. 已知 $Y=\ln X$ 服从正态分布 $N(\mu, 1)$.
(1) 求 $X$ 的数学期望值 $E(X)$ （记 $E(X)$ 为 $b$ ）；
(2) 求 $\mu$ 的置信度为 0.95 的置信区间；
(3) 利用上述结果求 $b$ 的置信度为 0.95 的置信区间.
设 $A, B$ 是二随机事件，随机变量
试证明随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 不相关的充分必要条件是 $\boldsymbol{A}$ 和 $B$ 相互独立.
设二维随机变量 $(X, Y)$ 的密度函数为
$$
f(x, y)=\frac{1}{2}\left[\varphi_1(x, y)+\varphi_2(x, y)\right]
$$
其中 $\varphi_1(x, y)$ 和 $\varphi_2(x, y)$ 都是二维正态密度函数，且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为 $\frac{1}{3}$ 和 $-\frac{1}{3}$ ，它们的边缘密度函数所对应的随机变量的数学期望都是零，方差都是 1 .
(1) 求随机变量 $X$ 和 $Y$ 的密度函数 $f_1(x)$ 和 $f_2(x)$ 及 $X$ 和 $Y$的相关系数 $\rho$ (可直接利用二维正态密度的性质)
(2) 问 $X$ 和 $Y$ 是否独立? 为什么?
设某班车起点站上客人数 $X$ 服从参数为 $\lambda(\lambda>0)$ 的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为 $p(0 < p < 1)$ ，且中途下车与否相互独立. 以 $\boldsymbol{Y}$ 表示在中途下车的人数，求:
(1) 在发车时有 $n$ 个乘客的条件下，中途有 $m$ 人下车的概率;
(2) 二维随机变量 $(X, Y)$ 的概率分布.
设总体 $X$ 服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^2\right)(\sigma>0)$ ，从该总体中抽取简单随机样本 $X_1, X_2, \cdots, X_{2 n}(n \geq 2)$ ，其样本均值为 $\bar{X}=\frac{1}{2 n} \sum_{i=1}^{2 n} X_i$ ，求统计量 $Y=\sum_{i=1}^n\left(X_i+X_{n+i}-2 \bar{X}\right)^2$的数学期望 $E(Y)$.
设随机变量 $X$ 和 $Y$ 的联合分布在以点 $(0,1),(1,0),(1,1)$ 为顶点的三角形区域上服从均匀分布，试求随机变量 $U=X+Y$ 的方差.
生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的. 假设每箱平均重 50 千克，标准差为 5 千克. 若用最大载重量为 5 吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于 $0.977 .(\Phi(2)=0.977$ ，其中 $\Phi(x)$ 是标准正态分布函数).
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 对联和分布是正方形
$$
G=\{(x, y) \mid 1 \leq x \leq 3,1 \leq y \leq 3\}
$$
上的均匀分布，试求随机变量 $U=|X-Y|$ 的概率密度 $p(u)$.
设随机变量 $\boldsymbol{X}$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{2} \cos \frac{x}{2}, & 0 \leq x \leq \pi \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
对 $X$ 独立地重复观察 4 次，用 $Y$ 表示观察值大于 $\frac{\pi}{3}$ 的次数，求 $Y^2$ 的数学期望.
设总体 $X$ 的概率分布为:
中 $\theta\left(0 < \theta < \frac{1}{2}\right)$ 是未知参数，利用总体 $X$ 的如下样本值 $3,1,3,0,3,1,2,3$ ，求 $\theta$ 的矩估计值和最大似然估计值
设 $A, B$ 是任意二事件，其中 $A$ 的概率不等于 0 和 1. 证明: $P(B \mid A)=P(B \mid \bar{A})$ 是事件 $A$ 与 $B$ 独立的充分必要条件.
假设随机变量 $U$ 在区间 $[-2,2]$ 上服从均匀分布，随机变量 $X=\left\{\begin{array}{ll}-1, & U \leq-1 \\ 1, & U>-1\end{array}, Y=\left\{\begin{array}{ll}-1, & U \leq 1 \\ 1, & U>1\end{array}\right.\right.$. 试求:
(1) $\boldsymbol{X}$ 和 $Y$ 的联合概率分布 ;
(2) $D(X+Y)$.
假设一设备开机后无故障工作的时间 $\boldsymbol{X}$ 服从指数分布，平均无故障工作的时间 $\boldsymbol{E} \boldsymbol{X}$ 为 5 小时. 设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作 2 小时便关机. 试求该设备每次开机无故障工作的时间 $Y$ 的分布函数 $F(y)$.