单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
直线 $L: \frac{x}{3}=\frac{y}{-2}=\frac{z}{7}$ 和平面 $\pi: 3 x-2 y+7 z-8=0$ 的位置关系是
$\text{A.}$ 直线 $L$ 平行于平面 $\pi$
$\text{B.}$ 直线 $L$ 在平面 $\pi$ 上
$\text{C.}$ 直线 $L$ 垂直于平面 $\pi$
$\text{D.}$ 直线 $L$ 与平面 $\pi$ 斜交
曲线 $\Gamma:\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{16}+\frac{y^2}{4}-\frac{z^2}{5}=1 \\ x-2 z+3=0\end{array}\right.$, 在 $x O y$ 平面上的投影曲线的方程是
$\text{A.}$ $x^2+20 y^2-24 x-116=0$.
$\text{B.}$ $4 y^2+4 z^2-12 z-7=0$.
$\text{C.}$ $\left\{\begin{array}{l}x^2+20 y^2-24 x-116=0 \\ z=0\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $\left\{\begin{array}{l}4 y^2+4 z^2-12 z-7=0 \\ x=0\end{array}\right.$
设 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{l}\sqrt{x^2+y^2} \sin \frac{1}{x^2+y^2},(x, y) \neq(0,0), \\ 0, \quad(x, y)=(0,0),\end{array}\right.$ 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 两个偏导数都存在，函数也连续。
$\text{B.}$ 两个偏导数都存在, 但函数不连续.
$\text{C.}$ 偏导数不存在，但函数连续。
$\text{D.}$ 偏导数不存在, 函数也不连续.
设二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 的某领域内存在连续的二阶偏导数 $f_x^{\prime} 、 f_{x y}^{\prime \prime} 、 f_{y y}^{\prime \prime}$,且点 $\left(x_0, y_0\right)$ 是驻点, 当 $f_{x y}^{\prime 2}\left(x_0, y_0\right) < f_{y y}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right) f_{xx}^{\prime \prime}\left(x_0, y_0\right)$, 且 $f_{y y}^{\prime}\left(x_0, y_0\right) < 0$ 时,下列结论正确的是
$\text{A.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 不是极值
$\text{B.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 是极小值
$\text{C.}$ $f\left(x_0, y_0\right)$ 是极大值
$\text{D.}$ 不能判断 $f\left(x_0, y_0\right)$ 是否为极值
已知函数 $f(x, y)=\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2-x y}$, 则 $x \frac{\partial f(x, y)}{\partial x}+y \frac{\partial f(x, y)}{\partial y}=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 .
$\text{C.}$ 2.
$\text{D.}$ 3 .
$\text{E.}$ 4
设 $f(x, y)$ 与 $\varphi(x, y)$ 均为可微函数，且 $\varphi_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．已知 $\left(x_0, y_0\right)$ 是 $f(x, y)$ 在约束条件 $\varphi(x, y)=0$ 下的一个极值点，下列选项正确的是
$\text{A.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
$\text{B.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
$\text{C.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right)=0$ ．
$\text{D.}$ 若 $f_x^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ，则 $f_y^{\prime}\left(x_0, y_0\right) \neq 0$ ．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
由 $x^2+y^2 \leq z \leq 1$ 表示的立体图形的体积 $V=$
已知曲线 $y=a x^2$ 与曲线 $y=\ln x$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处相切, 则曲线 $y=a x^2$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处的法线方程是 $\qquad$ .
求空间曲线 $\left\{\begin{array}{l}x^2+y^2+z^2-3 x=0 \\ 2 x-3 y+5 z-4=0\end{array}\right.$ 在点 $(1,1,1)$ 处的切线方程。
函数 $f(x, y)=x^2-2 x y+2 y$ 在矩形区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 3,0 \leq y \leq 2\}$ 上的最大值为 $\qquad$ , 最小值为 $\qquad$
设 $z=\int_0^{x^2 y} f\left(t, e ^t\right) d t$, 其中 $f$ 一阶偏导连续, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
设函数 $u(x), v(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内可导, $f(x, y)=u(x+2 y)+v(x-2 y)$, 且 $f(x, 0)=$ $\sin 2 x,\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{y=0}=0$, 则 $u(x)=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设直线 $L$ 经过点 $M(1,-2,0)$ 且与两条直线 $L_1:\left\{\begin{array}{l}2 x+z=1 \\ x-y+3 z=5\end{array}\right.$ 和 $L_2:\left\{\begin{array}{l}x=-2+t \\ y=1-4 t \\ z=3\end{array}\right.$ 都垂直, 则 $L$ 的参数方程为
求直线 $\frac{x}{2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z-1}{2}$ 绕 $z$ 轴一周所成的曲面介于 $z=2$ 与 $z=4$ 之间的体积。
已知直线 $\ell$ 经过点 $(11,9,0)$, 且与直线 $\frac{x-1}{2}=\frac{y+3}{4}=\frac{z-5}{3}$ 和直线 $\frac{x}{5}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+1}{2}$ 相交, 求直线 $\ell$ 的方程。
设 $z=f\left(e^x \sin y, x^2+y^2\right)$ ，其中 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(1,1)$ 处可微，且
$$
f(1,1)=1,\left.\frac{\partial f}{\partial x}\right|_{(1,1)}=2,\left.\frac{\partial f}{\partial y}\right|_{(1,1)}=3, \varphi(x)=f(x, f(x, x)) .
$$
$$
\text { 求 }\left.\frac{d}{d x} \varphi^3(x)\right|_{x=1} \text {. }
$$
求极限$\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{\left(x^2+y^2\right) \sin \left(x y^2\right)}{1-\cos \left(x^2+y^2\right)}$
设 $z=z(x, y)$ 是由方程 $\left(x^2+y^2\right) z+\ln z+2(x+y+1)=0$确定的隐函数，试求 $z=z(x, y)$ 的极值．
设双叶双曲面 $S: x^2+y^2-z^2=-2$. 记以 $M_0(1,1,-1)$ 为顶点且与 $S$ 的上半叶$S^{+}=\{(x, y, z) \in S \mid z \geq \sqrt{2}\}$相切的所有切线构成的锥面为 $\Sigma$ 。
(1) 求锥面 $\Sigma$ 的方程;
(2) 求 $S^{+} \cap \Sigma$ 所在平面 $\pi$ 的方程.