单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(x, y)$ 具有一阶偏导数, 且在任意的 $(x, y)$ 都有 $\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}>0, \frac{\partial f(x, y)}{\partial y} < 0$,则
$\text{A.}$ $f(0,0)>f(1,1)$.
$\text{B.}$ $f(0,0) < f(1,1)$.
$\text{C.}$ $f(0,1)>f(1,0)$.
$\text{D.}$ $f(0,1) < f(1,0)$.
二元函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微的一个充分条件是
$\text{A.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)}[f(x, y)-f(0,0)]=0$.
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x, 0)-f(0,0)}{x}=0$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(0, y)-f(0,0)}{y}=0$.
$\text{C.}$ $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)}{\sqrt{x^2+y^2}}=0$.
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0}\left[f_x^{\prime}(x, 0)-f_x^{\prime}(0,0)\right]=0$ 且 $\lim _{y \rightarrow 0}\left[f_y^{\prime}(0, y)-f_y^{\prime}(0,0)\right]=0$
如果函数 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续, 那么下列命题正确的是
$\text{A.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
$\text{B.}$ 若极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在, 则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微.
$\text{C.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在.
$\text{D.}$ 若 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处可微, 则极限 $\lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^2+y^2}$ 存在.
二元函数 $f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{x^2+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ 在点 $(0,0)$ 处
$\text{A.}$ 连续, 偏导数存在.
$\text{B.}$ 连续, 偏导数不存在.
$\text{C.}$ 不连续, 偏导数存在.
$\text{D.}$ 不连续, 偏导数不存在.
设 $f(x, y)= e ^{\sqrt{x^2+y^4}}$, 则
$\text{A.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在.
$\text{B.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 存在.
$\text{C.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在.
$\text{D.}$ $f_x^{\prime}(0,0)$ 不存在, $f_y^{\prime}(0,0)$ 不存在.
设有三元方程 $x y-z \ln y+ e ^{x z}=1$, 根据隐函数存在定理, 存在点 $(0,1,1)$ 的一个邻域，在此邻域内该方程
$\text{A.}$ 只能确定一个具有连续偏导数的隐函数 $z=z(x, y)$.
$\text{B.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $y=y(x, z)$ 和 $z=z(x, y)$.
$\text{C.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $z=z(x, y)$.
$\text{D.}$ 可确定两个具有连续偏导数的隐函数 $x=x(y, z)$ 和 $y=y(x, z)$.