单选题 （共 20 题 ），每题只有一个选项正确
设 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\}, I=\iint_D(x+y+1) d \sigma$, 则正确的是
$\text{A.}$ $1 \leq I \leq 8$
$\text{B.}$ $2 \leq I \leq 8$
$\text{C.}$ $1 \leq I \leq 4$
$\text{D.}$ $2 \leq I \leq 4$
设 $f(x, y)$ 为连续函数，且 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq t^2\right\}$ ，则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{\pi t^2} \iint_D f(x, y) d \sigma=(\quad)$
$\text{A.}$ $f(0,0)$
$\text{B.}$ $-f(0,0)$
$\text{C.}$ $f^{\prime}( 0 , 0 )$
$\text{D.}$ 不存在
交换积分次序 $\int_{-1}^0 d y \int_{1-y}^2 f(x, y) d x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_1^2 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$
$\text{B.}$ $\int_1^2 d x \int_{1-x}^0 f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d x \int_0^{1-x} f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^2 d y \int_{1-x}^0 f(x, y) d x$
设 $A=\int_0^2\left[e^x\right] d x, B=\iint_D\left(x^2+x y+y^2\right) d \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 2 x+2 y\right\},[x]$ 表示不超过 $x$的最大整数，则 $\frac{A}{B}=($
$\text{A.}$ $\frac{14-\ln (7!)}{8 \pi}$
$\text{B.}$ $\frac{14-\ln (7!)}{10 \pi}$
$\text{C.}$ $\frac{-14+\ln (7!)}{8 \pi}$
$\text{D.}$ $\frac{-14+\ln (7!)}{10 \pi}$
设 $f(x, y)$ 在区域 $D=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 1\}$上可微，且 $f(0,0)=0$ ，极限 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\int_0^{x^2} d t \int_x^{\sqrt{t}} f(t, u) d u}{1-e^{-x^4}}=(\quad)$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{4} f_y^{\prime}(0,0)$
$\text{B.}$ $\frac{1}{4} f_x^{\prime}(0,0)$
$\text{C.}$ $-\frac{1}{4} f_x^{\prime}(0,0)$
$\text{D.}$ $\frac{1}{4} f_y^{\prime}(0,0)$
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{\cos \theta} f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$ 可以写为 $(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{1-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_0^1 f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) d y$
设区域 $D =\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leq 4, x \geq 0, y \geq 0\right\}, f(x)$ 为 D 上的正值连续函数, $a, b$为常数, 则 $\iint_D \frac{a \sqrt{f(x)}+b \sqrt{f(y)}}{\sqrt{f(x)}+\sqrt{f(y)}} d \sigma=(\quad)$
$\text{A.}$ $a b \pi$
$\text{B.}$ $\frac{a b \pi}{2}$
$\text{C.}$ $(a+b) \pi$
$\text{D.}$ $\frac{a+b}{2} \pi$
已知平面区域 $D_1=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant y \leqslant x \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}, D_2=\left\{(x, y) \left\lvert\, 0 \leqslant x \leqslant y \leqslant \frac{\pi}{2}\right.\right\}$, $D_3=\left\{(x, y) \left\lvert\, \frac{\pi}{2} \leqslant x \leqslant y \leqslant \pi\right.\right\}$, 记 $I_1=\iint_{D_1} e ^{-x^2} \sin y d x d y, I_2=\iint_{D_2} e ^{-x^2} \sin y d x d y, I_3=\iint_{D_3} e ^{-x^2} \sin y d x d y$,则（）
$\text{A.}$ $I_3 < I_1 < I_2$.
$\text{B.}$ $I_3 < I_2 < I_1$.
$\text{C.}$ $I_1 < I_3 < I_2$.
$\text{D.}$ $I_1 < I_2 < I_3$.
设 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$, 则 $\iint_D \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y=$
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ $4 \iint_{D_1} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_1=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \geqslant 0\right\}$.
$\text{C.}$ $4 \iint_{D_2} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_2=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0, y \leqslant 0\right\}$.
$\text{D.}$ $2 \iint_{D_3} \frac{ e ^{x^2+y^2}}{2+x y} d x d y$, 其中 $D_3=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1, x \geqslant 0\right\}$.
(2) $\int_{-1}^0 d x \int_{-x}^{\sqrt{2-x^2}} f(x, y) d y+\int_0^1 d x \int_x^{\sqrt{2-x^2}} f(x, y) d y=(\quad)$
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_{-y}^y f(x, y) d x+\int_1^2 d y \int_{-\sqrt{2-y^2}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_{-y}^y f(x, y) d x+\int_1^{\sqrt{2}} d y \int_{-\sqrt{2-y^2}}^{\sqrt{2-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^2 f(r \cos \theta, r \sin \theta) r d r$
$\text{D.}$ $\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} d \theta \int_0^{\sqrt{2}} f(r \cos \theta, r \sin \theta) d r$
设区域 D 是圆 $x^2+y^2 \leq 4$ 的第二、三象限部分, 二重积分 $\iint_D x y d \sigma=$
$\text{A.}$ $2 \int_{-2}^0 d x \int_0^{\sqrt{4 x^2}} x y d y$
$\text{B.}$ $\int_{-2}^0 d x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} x y d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-z^2}} x y d y$
$\text{D.}$ $2 \int_0^2 d x \int_0^{\sqrt{4-x^2}} x y d y$
设 D 是抛物线 $y=x^2$ 与其过点 $(0,-a)(a>0)$ 的两条切线围成的有界区域, 若 D 的面积等于 18 , 则 $a=$
$\text{A.}$ 12 .
$\text{B.}$ 9 .
$\text{C.}$ 8.
$\text{D.}$ 6 .
$\text{E.}$ 3
已知曲线 L 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos ^3 t, \\ y=2 \sin ^3 t\end{array}\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\right.$, 则 L 的长度为
$\text{A.}$ 2 .
$\text{B.}$ 3.
$\text{C.}$ 5.
$\text{D.}$ 6 .
$\text{E.}$ 9
累次积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} d \theta \int_0^{\cos \theta} f(\rho \cos \theta, \rho \sin \theta) \rho d \rho$ 可写成
$\text{A.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{y-y^2}} f(x, y) d x$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d y \int_0^{\sqrt{y}} f(x, y) d x$
$\text{C.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{x-x^2}} f(x, y) d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 d x \int_0^{\sqrt{x}} f(x, y) d y$
设 $f(x)$ 为连续函数，$F(t)=\int_1^t d y \int_y^t f(x) d x$ ，则 $F^{\prime}(2)$ 等于
$\text{A.}$ $2 f(2)$
$\text{B.}$ $f(2)$
$\text{C.}$ $-f(2)$
$\text{D.}$ 0
设 $I_1=\iint_{x^2+y^2 \leqslant 1}\left(x^2+y^2\right) d \sigma, I_2=\iint_{|x|+|y| \leqslant 1} 2|x y| d \sigma, I_3=\iint_{|x|+|| | \leq 1}\left(x^2+y^2\right) d \sigma$ ，则
$\text{A.}$ $I_1 < I_2 < I_3$
$\text{B.}$ $I_2 < I_3 < I_1$
$\text{C.}$ $I_3 < I_1 < I_2$
$\text{D.}$ $I_3 < I_2 < I_1$
设 $I_1=\iint_D \cos \sqrt{x^2+y^2} d \sigma, I_2=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right) d \sigma, I_3=\iint_D \cos \left(x^2+y^2\right)^2 d \sigma$ ，其中 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 1\right\}$ ，则
$\text{A.}$ $I_3>I_2>I_1$
$\text{B.}$ $I_1>I_2>I_3$
$\text{C.}$ $I_2>I_1>I_3$
$\text{D.}$ $I_3>I_1>I_2$
．设 $\Sigma_1$ 为上半单位球面，$\Sigma_2$ 为第一卦限内的单位球面，则
$\text{A.}$ $\iint_{\Sigma_1} x d S=4 \iint_{\Sigma_2} x d S$
$\text{B.}$ $\iint_{\Sigma_1} y d S=4 \iint_{\Sigma_2} y d S$
$\text{C.}$ $\iint_{\Sigma_1} z d S=4 \iint_{\Sigma_2} z d S$
$\text{D.}$ $\iint_{\Sigma_1} x y z d S=4 \iint_{\Sigma_2} x y z d S$
$\int_0^1 \int_{y-1}^{1-y} f(x, y) d x d y=$
$\text{A.}$ $\int_{-1}^0 \int_0^{x+1} f(x, y) d x d y+\int_0^1 \int_0^{1-x} f(x, y) d x d y$
$\text{B.}$ $\int_0^1 d x \int_0^x f(x, y) d y$
$\text{C.}$ $\int_{-1}^1 \int_0^1 f(x, y) d x d y$
$\text{D.}$ $\int_0^1 \int_0^{2-x} f(x, y) d x d y$ ．
设曲面 $\sum$ 是球面 $x^2+y^2+z^2=1$ ，区域 $\Omega$ 是由 $x^2+y^2+z^2=1$ 所围成的闭区域，下列计算正确的是
（1） $\iiint_{\Omega}\left(x^2+y^2+z^2\right) d x d y d z=\iiint_{\Omega} d x d y d z$ ；
（2） $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2+z^2\right) d S=\iint_{\Sigma} d S$ ．
$\text{A.}$ （1）对
$\text{B.}$ （2）对
$\text{C.}$ （1）（2）都对
$\text{D.}$ （1）（2）都错