单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
下列曲面方程中，表示柱面的是
$\text{A.}$ $x^2-2 y^2=1$
$\text{B.}$ $x^2+y^2=z$
$\text{C.}$ $x^2-2 y^2=z^2$
$\text{D.}$ $x^2-y^2=z$ ．
设 $y_1= e ^{-x}, y_2=2 x e ^{-x}, y_3=3 e ^x$ 是三阶常系数线性齐次方程的解，则该方程为
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}+y^{\prime}+y=0$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}+y^{\prime}-y=0$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$
若函数 $z=f(u)$ 二阶可导, 且 $u =3 e^y+2 x$, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}=$
$\text{A.}$ $6 x f''$
$\text{B.}$ $6 e^y f^{''}$
$\text{C.}$ $3 e^y f^{''}$
$\text{D.}$ $2 f''$
已知曲线 L 的参数方程 $\left\{\begin{array}{l}x=2 \cos ^3 t, \\ y=2 \sin ^3 t\end{array}\left(0 \leq t \leq \frac{\pi}{2}\right)\right.$, 则 L 的长度为
$\text{A.}$ 2 .
$\text{B.}$ 3.
$\text{C.}$ 5.
$\text{D.}$ 6 .
$\text{E.}$ 9
设 $f_1(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{y^2-x y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}, & x \neq y, \\ 0, & x=y,\end{array} f_2(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x^2 y}{x^4+y^2}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0),\end{array}\right.\right.$ 则
$\text{A.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均连续．
$\text{B.}$ $f_1(x, y), f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处均不连续．
$\text{C.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续，$f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续．
$\text{D.}$ $f_1(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处不连续，$f_2(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处连续．
设有直线 $L:\left\{\begin{array}{l}x+3 y+2 z+1=0 \\ 2 x-y-10 z+3=0\end{array}\right.$ 及平面 $\Pi: 4 x-2 y+z-2=0$ ，则直线 $L$（）
$\text{A.}$ 平行于平面
$\text{B.}$ 在平面上
$\text{C.}$ 垂直于平面
$\text{D.}$ 与平面斜交
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\left(1-\cos \frac{\alpha}{n}\right)$（常数 $\alpha>0$ ）（）
$\text{A.}$ 发散
$\text{B.}$ 条件收敛
$\text{C.}$ 绝对收敛
$\text{D.}$ 收敛性与 $\alpha$ 有关
下列级数中绝对收敛的是 ( )。
$\text{A.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n}{\ln (1+n)}$
$\text{B.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{n^3-1}{n^2+2}$
$\text{C.}$ $\sum_1^{\infty}(-1)^n \frac{2 n^2+1}{n^3-2 n+1}$
$\text{D.}$ $\sum_1^{\infty} \frac{(-1)^n n}{\sqrt{3^n}} \sin n$
设 $L: y=\sqrt{1-x^2}$ 从点 $A(-1,0)$ 到点 $B(1,0)$, 则 $\int_L 2 x d y-\sqrt{x^2+y^2} d x=$
$\text{A.}$ $ \pi+2$.
$\text{B.}$ $ \pi-2$.
$\text{C.}$ $-\pi-2$.
$\text{D.}$ $-\pi+2$.
设区域 D 是圆 $x^2+y^2 \leq 4$ 的第二、三象限部分, 二重积分 $\iint_D x y d \sigma=$
$\text{A.}$ $2 \int_{-2}^0 d x \int_0^{\sqrt{4 x^2}} x y d y$
$\text{B.}$ $\int_{-2}^0 d x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-x^2}} x y d y$
$\text{C.}$ $\int_0^2 d x \int_{-\sqrt{4-x^2}}^{\sqrt{4-z^2}} x y d y$
$\text{D.}$ $2 \int_0^2 d x \int_0^{\sqrt{4-x^2}} x y d y$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $u$ 轴与三坐标轴正向构成相等的锐角，求空间向量 $a =(4,-3,2)$ 在 $u$ 轴上的投影
设 $f(x, y, z)=e^x y z^2$, 其中 $z=z(x, y)$ 是由 $x+y+z+x y z=0$ 确定的隐函数, 则$f_x(0,1,-1)=$
幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(x-1)^{n+1}}{3^n}$ 的收敛域为
求椭圆抛物面 $z=1+x^2+3 y^2$ 、圆柱面 $x^2+y^2=1$ 及平面 $z=0$ 所围的有界区域的体积。
交换积分次序 $\int_0^1 d y \int_{\sqrt{1-y}}^{e^y} f(x, y) d x=$
设曲面方程为 $z=w(x) e ^{\sin (x y)}$ ，其中 $w=w(x)(w>0)$ 由方程 $x^2+w^2+ e ^{x w}=5$ 确定，则曲面在点 $(0,1, z(0,1))$ 处的切平面方程为
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
由方程 $x y z+\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}$ 所确定的函数 $z=z(x, y)$ 在点 $(1,0,-1)$ 处的全微分 $d z$ $=$
求过点 $(-1,0,4)$ 且平行于平面 $3 x-4 y+z=10$ ，又与直线 $L_1: x+1=y-3=\frac{z}{2}$ 相交的直线方程．
通过变量代换 $x=\sin t, t \in\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ ，化简以下微分方程并求其通解：
$$
\left(1-x^2\right) \frac{d^2 y}{d x^2}-x \frac{d y}{d x}+y=0 \quad(-1 < x < 1)
$$
计算 $\int_{\Gamma} \frac{1}{x^2+y^2+z^2} d s$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x= e ^{ t } \cos t, y= e ^{ t } \sin t, z= e ^{ t }$ 上相应于 $t$ 从 0 变到 2 的这段弧．
求 $\iint_D x e ^{-y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=4 x^2, y=9 x^2$ 在第一象限围成的区域．（数三）
设函数 $f(x, y)=x^2+y^2-12 x+16 y$ ，
（1）求 $f(x, y)$ 的极值；
（2）求 $f(x, y)$ 在圆周 $x^2+y^2=25$ 上的最大、最小值；
（3）求 $f(x, y)$ 在区域 $D: x^2+y^2 \leq 25$ 上的最大、小值．
计算曲线积分 $\int_L\left(x^2+y^2\right) d x+\left(x^2-y^2\right) d y,$
其中积分路径 $L$ 分别为：
（1）折线段 $O A B$ ；
（2）直线段 $O B$ ；
（3）半圆弧 $\overparen{O A B}$
设薄片型物体 $S$ 是圆锥面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 被柱面 $z^2=2 x$割下的有限部分，其上任一点密度为
$$
\mu(x, y, z)=9 \sqrt{x^2+y^2+z^2} 。
$$
记圆锥与柱面的交线为 $C$ :
(1) 求 $C$ 在 $x O y$ 平面上的投影曲线的方程;
(2) 求 $S$ 的质量 $M$.