单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\left|\begin{array}{lll}a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3\end{array}\right|=m$, 则 $\left|\begin{array}{ccc}a_1 & a_2 & a_3 \\ 2 b_1 & 2 b_2 & 2 b_3 \\ 3 c_1 & 3 c_2 & 3 c_3\end{array}\right|=\begin{array}{lll}\end{array}$.
$\text{A.}$ $6 m$
$\text{B.}$ $-6 m$
$\text{C.}$ $2^3 3^3 m$
$\text{D.}$ $-2^3 3^3 m$
设 $n$ 阶方阵 $A , B , C$ 满足关系式 $A B C = E$, 其中 $E$ 是 $n$ 阶单位阵, 则必有
$\text{A.}$ $A C B = E$.
$\text{B.}$ $C B A = E$.
$\text{C.}$ $B A C = E$.
$\text{D.}$ $B C A = E$.
设 $\alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1, \beta _2$ 都是 4 维列向量, 且 4 阶行列式 $\left| \alpha _1, \alpha _2, \alpha _3, \beta _1\right|=m,\left| \alpha _1, \alpha _2, \beta _2, \alpha _3\right|=n$, 则 4 阶行列式 $\left| \alpha _3, \alpha _2, \alpha _1, \beta _1+ \beta _2\right|$ 等于
$\text{A.}$ $m+n$
$\text{B.}$ $-(m+n)$
$\text{C.}$ $n-m$
$\text{D.}$ $m-n$
已知向量 $\alpha_1=(1,0,1)^T, \alpha_2=(1,2,1)^T, \alpha_3=(3,1,2)^T$, 记 $\beta_1=\alpha_1, \beta_2=\alpha_2-k \beta_1$, $\beta_3=\alpha_3-l_1 \beta_1-l_2 \beta_2$, 若 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 两两正交, 则 $l_1, l_2$ 依次为 ( ).
$\text{A.}$ $\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{B.}$ $-\frac{5}{2}, \frac{1}{2}$;
$\text{C.}$ $\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$;
$\text{D.}$ $-\frac{5}{2},-\frac{1}{2}$.
$A , B$ 都是 n 阶矩阵，且 $A B =0$ ，则必有
$\text{A.}$ $A =0$ 或 $B =0$
$\text{B.}$ $| A |=| B |=0$
$\text{C.}$ $A = B =0$
$\text{D.}$ $| A |=0$ 或 $| B |=0$
设 $A$ 是 $m \times n$ 矩阵，$B$ 是 $n \times m$ 矩阵，则线性方程组 $(A B) X=0$（ ）
$\text{A.}$ 当 $m>n$ 时，仅有零解
$\text{B.}$ 当 $m>n$ 时，必有非零解
$\text{C.}$ 当 $n>m$ 时，仅有零解
$\text{D.}$ 当 $n>m$ 时，必有非零解
设三阶矩阵 $A$ 的特征值是 $-2,-1,2$, 矩阵 $B = A ^3-3 A ^2+2 E$, 则 $| B |=$
$\text{A.}$ -4 ;
$\text{B.}$ -16 ;
$\text{C.}$ -36 ;
$\text{D.}$ -72 .
设方阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 1 & k & 0 \\ 0 & 0 & k^2\end{array}\right)$ 是正定矩阵, 则必有 ( )。
$\text{A.}$ $k>0$;
$\text{B.}$ $k>1$;
$\text{C.}$ $k>2$;
$\text{D.}$ $k>-1$ 。
填空题 （共 10 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A$ 是 3 阶矩阵，已知 $A ^{-1}=\left[\begin{array}{lll}2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2\end{array}\right]$ ，则 $\left| A ^*\right|=$ $\qquad$ ．
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ll}2 & 3 \\ 1 & 4\end{array}\right)$ ，则 $A ^*=$
向量组 $\alpha_1=(1,-1,0)^T, \alpha_2=(2,4,1)^T, \alpha_3=(1,5,1)^T$ 的秩为
已知矩阵 $\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}k & 1 & 1 & 1 \\ 1 & k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & k & 1 \\ 1 & 1 & 1 & k\end{array}\right]$, 且 $\mathbf{A}$ 的秩 $r(\mathbf{A})=3$, 则 $k=$
若向量组 $\alpha_1=(1,1,0), \alpha_2=(1,3,-1), \alpha_3=(5,3, t)$ 线性 相关，则 $t=$
向量 $\gamma$ 在 $\alpha_1=[1,0,1]^T, \alpha_2=[0,1,-1]^T, \alpha_3=[1,2,0]^T$ 下的坐标是 $[5,7,-4]^T$, 则 在 $\beta_1=[1,0,1]^T, \beta_2=[-1,1,1]^T, \beta_3=[1,-2,-2]^T$ 下的坐标是
设 $a =(1, k , 0), b =(0,1, k ), c =( k , 0,1)$ ．如果向量 $a , b , c$ 线性无关，则实数 k 的取值范围是 $\qquad$
已知 4 元非齐次线性方程组系数矩阵的秩为 3 , 又 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是它的 3 个解向量, 其中 $\alpha_1+\alpha_2=(1,1,0,2)^T, \quad \alpha_2+\alpha_3=(1,0,1,3)^T$, 则该非齐次线性方程组的通解为
设矩阵 $A =\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 3 \\ x & y & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right)$ 有三个特征值为 $0, ~ 1$ 和 2 ，则 $x=$
二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3, x_4\right)=4 x_1 x_3+10 x_1 x_4+18 x_2 x_3+8 x_3 x_4$ 的矩阵表达式为
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
计算 $\left|\begin{array}{cccc}4 & -2 & 5 & 1 \\ -2 & 3 & 3 & -1 \\ 0 & 4 & 0 & -4 \\ 1 & 4 & -2 & 1\end{array}\right|$
设 $A =\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 4 & 0 \\ -1 & 2 & 1\end{array}\right), B =\left(\begin{array}{ccc}2 & 3 & -1 \\ -2 & 4 & 0\end{array}\right)$ ．求（1） $A B ^{ T }$ ；（2）$|4 A |$ ．
求矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 0 \\ -3 & 2 & -5\end{array}\right]$ 的逆矩阵．
求向量组 $\alpha_1=(1,1,2,0)^T, \alpha_2=(-2,-1,-2,2)^T, \alpha_3=(3,4,4,-4)^T, \alpha_1=(-1,-1,0,3)^T$ 的秩以及一个极大无关组，并用极大无关组表示其余向量
已知非齐次线性方程组 $\left\{\begin{array}{c}x_1+x_2-3 x_3-x_4=1, \\ 3 x_1-x_2-3 x_3+4 x_4=4, \\ x_1+5 x_2-9 x_3-8 x_4=0,\end{array}\right.$ 求方程组的通解
设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & -1 \\ -1 & a & b \\ 2 & c & -2\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & 2 \\ 2 & d_1 & 1 \\ d_2 & d_3 & d_4\end{array}\right)$ 且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{O}$.
(I) 求常数 $a, b, c$;
(II) 判断 $\boldsymbol{A}$ 是否可相似对角化, 若 $\boldsymbol{A}$ 可相似对角化,则求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$, 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}$ 为对角矩阵, 反之说明理由.
化二次型
$$
f\left(x_1, x_2, x_3\right)=x_1^2+2 x_1 x_2+2 x_1 x_3-x_2^2-2 x_2 x_3-x_3^2
$$
为标准形，并写出所作的可逆线性变换．