单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设对＂$\forall \varepsilon \in(0,1), \exists 一 个$ 正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right| < 2 \varepsilon$＂是 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要而非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件。
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小 $\alpha=\int_0^{\sin x} \cos t^2 d t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} d t, \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 d t$ 进行排列，使后者是前者的高阶无穷小．正确的排列是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
在下列选择中，当 $x \rightarrow 0^{+}$时，是 $\sqrt{x}$ 的等价无穷小的是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+ e ^{\frac{1}{x}}}{1- e ^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，则在点 $x=0$ 处 $f(x)$ ．
$\text{A.}$ 极限存在但不连续
$\text{B.}$ 仅左连续
$\text{C.}$ 仅右连续
$\text{D.}$ 连续
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义． $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a$ ，令 $g(x)=\left\{\begin{array}{c}f\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ ，则（D）．
$\text{A.}$ $x=0$ 必为 $g(x)$ 的连续点
$\text{B.}$ $x=0$ 必为 $g(x)$ 的第 I 类间断点
$\text{C.}$ $x=0$ 必为 $g(x)$ 的第 II 类间断点
$\text{D.}$ $g(x)$ 的连续性与 $a$ 有关
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x=( D )$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ e
$\text{C.}$ $e ^{b-a}$
$\text{D.}$ $e ^{a-b}$
设 $f(x)=\frac{1+ e ^{-x^2}}{1- e ^{-x^2}}$ ，则 $f(x)$ ．
$\text{A.}$ 无渐近线
$\text{B.}$ 只有水平渐近线
$\text{C.}$ 只有铅直渐近线
$\text{D.}$ 既有水平渐近线又有铅直渐近线
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2+x, & x>0 .\end{array}\right.$ 则（ ）
$\text{A.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-x^2, & x \leqslant 0, \\ -\left(x^2+x\right), & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{B.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}-\left(x^2+x\right), & x < 0, \\ -x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
$\text{C.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2, & x \leqslant 0, \\ x^2-x, & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f(-x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2-x, & x < 0, \\ x^2, & x \geqslant 0 .\end{array}\right.$
设函数 $f(x)=x \cdot \tan x \cdot e^{\sin x}$ ，则 $f(x)$ 是（ ）
$\text{A.}$ 偶函数
$\text{B.}$ 无界函数
$\text{C.}$ 周期函数
$\text{D.}$ 单调函数
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^4}$ 为（ ）。
$\text{A.}$ $\frac{1}{3}$
$\text{B.}$ $-\frac{1}{3}$
$\text{C.}$ $\frac{1}{6}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{6}$
填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $\alpha_1=x(\cos \sqrt{x}-1), \alpha_2=\sqrt{x} \ln (1+\sqrt[3]{x}), \alpha_3=\sqrt[3]{x+1}-1$ ．当 $x \rightarrow 0^{+}$时，以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x \ln (1+x)}{1-\cos x}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^{x^2}-1}{x \ln (1+2 x)}$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\sin ^3 x}$
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}a+b x^2, x \leq 0 \\ \frac{\sin b x}{x}, x>0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则常数 $a$ 与 $b$ 应满足的关系是
求函数 $f(x)=\frac{1}{1-e^{\frac{x}{1-x}}}$ 的间断点，并确定其类型．
设 $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2+x-x^2}}$ ，则 $f(x)$ 的定义域为
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\tan x-x$ 是与 $x^n$ 同阶的无穷小，则 $n=$
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^x- e ^{-x}-2 x}{x-\sin x}=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\frac{\left(x^2-2 x-3\right) e ^{\frac{1}{x}}}{\left(x^2-1\right) \arctan x}$ ，求 $f(x)$ 的间断点，并判别类型．
（讨论 $x \rightarrow 0$ 时如果含有 $e ^{\frac{1}{x}},|x|=\sqrt{x^2}, ~ \arctan \frac{1}{x}, \operatorname{arccot} \frac{1}{x}$ ，我们一定要分成 $x \rightarrow 0^{+}, x \rightarrow 0^{-}$两种情况）