单选题 （共 26 题 ），每题只有一个选项正确
微分方程 $x y^{\prime}-y \ln y=0$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=e^{c x}$
$\text{B.}$ $y=c x$
$\text{C.}$ $y=e^x+c$
$\text{D.}$ $y=e^x+c x$
设方程 $\ln x=k x$ 只有两个正实根, 则 $k$ 的取值范围为
$\text{A.}$ $(-\infty, e)$
$\text{B.}$ $\left(0, \frac{1}{\mathrm{e}}\right)$
$\text{C.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}},+\infty\right)$
$\text{D.}$ $\left(\frac{1}{\mathrm{e}}, 1\right)$
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}-3 y=\mathrm{e}^x$ 的通解为
$\text{A.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x-\frac{1}{4} \mathrm{e}^x$.
$\text{B.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x-\frac{1}{4} x \mathrm{e}^x$.
$\text{C.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{4} \mathrm{e}^x$.
$\text{D.}$ $C_1 \mathrm{e}^{-3 x}+C_2 \mathrm{e}^x+\frac{1}{4} x \mathrm{e}^x$.
已知 $\left(a x y^3-y^2 \cos x\right) d x+\left(1+b y \sin x+3 x^2 y^2\right) d y$ 为某二元函数的全微分, 则 $a$ 和 $b$ 的 值分别为
$\text{A.}$ $-2$ 与 $2$
$\text{B.}$ $-3$ 与 $3$
$\text{C.}$ $2$ 与 $-2$
$\text{D.}$ $3$ 与 $-3$
已知 $y=\frac{x}{\ln x}$ 是微分方程 $y^{\prime}=\frac{y}{x}+\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的解, 则 $\varphi\left(\frac{x}{y}\right)$ 的表达式为
$\text{A.}$ $-\frac{y^2}{x^2}$.
$\text{B.}$ $\frac{y^2}{x^2}$.
$\text{C.}$ $-\frac{x^2}{y^2}$.
$\text{D.}$ $\frac{x^2}{y^2}$.
微分方程 $2(x y+x) y^{\prime}=y$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=C e^{2 x}$
$\text{B.}$ $y^2=C e^{2 x}$
$\text{C.}$ $y^2 e^{2 y}=C x$
$\text{D.}$ $e^{2 y}=C x y$
微分方程 $y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解是
$\text{A.}$ $y=C_1 \cos x+C_2 \sin x$
$\text{B.}$ $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2 \mathrm{e}^{-x}$
$\text{C.}$ $y=\left(C_1+C_2 x\right) \mathrm{e}^x$
$\text{D.}$ $y=C_1 \mathrm{e}^x+C_2$
设 $y=y(x)$ 满足条件
$$
\begin{aligned}
& y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+4 y=0, \\
& y(0)=2, y^{\prime}(0)=0,
\end{aligned}
$$
则 $\int_0^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x=$.
$\text{A.}$ 2
$\text{B.}$ -2
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ -1
微分方程 $\frac{d y}{d x}=\frac{y}{x}+\tan \frac{y}{x}$ 的通解是
$\text{A.}$ $\frac{1}{\sin \frac{y}{x}}=c x$
$\text{B.}$ $\sin \frac{y}{x}=x+c$
$\text{C.}$ $\sin \frac{y}{x}=c x$
$\text{D.}$ $\sin \frac{x}{y}=c x$
设 $C_1, C_2$ 是两个任意常数，则函数 $y=C_1 e ^{2 x}+C_2 e ^{-x}-2 x e ^{-x}$ ， 满足的一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=6 e ^{-x}$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=6 e ^{-x}$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e ^{-x}$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e^{-x} .$
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y= e ^{3 x}$ 满足初始条 $y(0)=y^{\prime}(0)=$ 0 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ ，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在.
$\text{B.}$ 等于 1 .
$\text{C.}$ 等于 2 .
$\text{D.}$ 等于 3 .
函数 $y=C_1 e ^x+C_2 e ^{-2 x}+x e ^x$ 满足的一个微分方程是
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e ^x$.
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e ^x$.
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e ^x$.
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 e ^x$.
微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+8 y= e ^{2 x}(1+\cos 2 x)$ 的特解可设为 $y^*=$
$\text{A.}$ $A e ^{2 x}+ e ^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$.
$\text{B.}$ $A x e ^{2 x}+ e ^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$.
$\text{C.}$ $A e ^{2 x}+x e ^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$.
$\text{D.}$ $A x e ^{2 x}+x e ^{2 x}(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$.
下列方程中， ________ 是齐次方程。
$\text{A.}$ $\frac{d y}{y^2-2 x y}=\frac{d x}{x^2-x y+y^2}$
$\text{B.}$ $y^{\prime}=\frac{1}{x-y^2}$
$\text{C.}$ $(2 x-y+3) d y=(x-2 y+1) d x$
$\text{D.}$ $\frac{x}{2+y} d y=\frac{y}{2+x} d x$
设 $f(x)$ 为微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}- e ^{\sin x}=0$ 的解, 且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$, 则 $f(x)$ 在 $(\quad)$.
$\text{A.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递减
$\text{B.}$ $x_0$ 处取极小值
$\text{C.}$ $x_0$ 处取极大值
$\text{D.}$ $x_0$ 的某邻域内单调递增
设线性无关函数 $y_1, y_2, y_3$ 都是二阶非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=f(x)$ 的解, $C_1, C_2$ 是任意常数, 则对应齐次方程 $y^{\prime \prime}+P(x) y^{\prime}+Q(x) y=0$ 的通解是 ( ).
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2$
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-2 y_3$
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
若函数 $y=x e^x$ 是方程 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 解, 则 $y=x e^x+C$ (C为任意常数)
$\text{A.}$ 是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{B.}$ 是 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的特解
$\text{C.}$ 不是 $F(x, y, y)=0$ 的通解
$\text{D.}$ 不能确定是否为 $F\left(x, y, y^{\prime}\right)=0$ 的解
设 $k$ 为任意常数, 微分方程 $y^{\prime}=2 x \tan y$ 的通解是
$\text{A.}$ $-\ln \sin y=x^2+k$
$\text{B.}$ $\quad \sin y=k e^{z^2} \quad(k \neq 0)$
$\text{C.}$ $\ln \sin y=k x^2$
$\text{D.}$ $\ln k \sin y=x^2(k>0)$
设 $A, B, C$ 为待定常数，微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=2 e ^x \sin ^2 x$ 的特解形式为
$\text{A.}$ $A e ^x+x e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{B.}$ $A e ^x \sin ^2 x$
$\text{C.}$ $A e ^x+ e ^x(B \cos 2 x+C \sin 2 x)$
$\text{D.}$ $A e ^x \cos ^2 x$
设 $y=f(x)$ 是方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+4 y=0$ 的一个解，若 $f\left(x_0\right)>0$ ，且 $f^{\prime}\left(x_0\right)=0$ ，则函数 $f(x)$在点 $x_0$
$\text{A.}$ 取得极大值
$\text{B.}$ 取得极小值
$\text{C.}$ 某个邻域内单调增加
$\text{D.}$ 某个邻域内单调减少
设 $y=y(x)$ 是二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y= e ^{3 x}$ 满足初始条件 $y(0)=y^{\prime}(0)=0$ 的特解，则当 $x \rightarrow 0$ 时，函数 $\frac{\ln \left(1+x^2\right)}{y(x)}$ 的极限
$\text{A.}$ 不存在
$\text{B.}$ 等于 1
$\text{C.}$ 等于 2
$\text{D.}$ 等于 3
设线性无关的函数 $y_1, y_2, y_3$ 都是方程 $y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+q(x) y=f(x)$ 的解，$C_1, C_2$ 为任意常数，则该非齐次方程的通解是
$\text{A.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+C_3 y_3$
$\text{B.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(C_1+C_2\right) y_3$
$\text{C.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2+\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
$\text{D.}$ $C_1 y_1+C_2 y_2-\left(1-C_1-C_2\right) y_3$
设 $y_1(x), y_2(x)$ 是一阶非齐次线性方程 $y^{\prime}(x)+p(x) y(x)=f(x)$ 的两个不相同的特解，则 $y^{\prime}(x)+p(x) y(x)=f(x)$ 的通解是
$\text{A.}$ $y_1(x)+y_2(x)$
$\text{B.}$ $\frac{y_1(x)}{y_2(x)}$
$\text{C.}$ $C\left(y_1(x)-y_2(x)\right)+y_1(x)$
$\text{D.}$ $y_1(x)-y_2(x)$
下列微分方程中：一阶线性微分方程的个数是（ ）．
（1）$(x y+1) d x-x d y=0$ ，
（2）$x^2+y^{\prime}=0$ ，
（3）$x^2+y y^{\prime}=1$ ，
（4）$x^2 y^{\prime}+y^{\prime \prime}=1$ ．
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
微分方程 $x^2 y^{\prime \prime}+\left(y^{\prime}\right)^3+12 y=\sin x$ 的阶是（ ）。
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
函数 $y=C_1 e ^x+G_2 e ^{-2 x}+x e ^x$ 满足的一个微分方程是（ ）。
$\text{A.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 x e ^x$
$\text{B.}$ $y^{\prime \prime}-y^{\prime}-2 y=3 e ^x$
$\text{C.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 x e ^x$
$\text{D.}$ $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=3 e ^x$