填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\int_0^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} d t}=$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1+n}{n}\right)^{(-1)^n}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^3-8}{x^2-3 x+2}$
(1) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{(1+x)^{\frac{1}{x}}-e}{x}$;
(2) $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln \frac{\sin x}{x}}{x^2}$.
解答题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求数列的极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+2^n+3^n}$.
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{a(a+1)(a+2)}+\frac{1}{(a+1)(a+2)(a+3)}+\cdots+\frac{1}{(a+n-1)(a+n)(a+n+1)}\right]$其中 $a>0$.
已知函数
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{l}
(\cos x)^{x^{-2}}, 0 < |x| < \frac{\pi}{2} \\
a, x=0
\end{array}\right.
$$
在 $x=0$ 连续，则 $a=$
讨论函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1-x^{2 n}}{1+x^{2 n}} x$ 的连续性，若有间断点，判别其类型．
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$.
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty}(\sqrt{1+2+\cdots+n}-\sqrt{1+2+\cdots+(n-1)})$ ；
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[x-x^2 \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$ ．
$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}},(p \geqslant 1)$;
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{\sin \frac{\pi}{2 n} \sin \frac{2 \pi}{2 n} \cdots \sin \frac{n \pi}{2 n}}$
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(1-x \sin \frac{1}{x}\right)=$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2^x+\sin x\right)^{\frac{1}{e^{2 z}-1}}$ ．
$\lim _{x \rightarrow \infty} \arctan \left(\frac{x^2+x}{x^2+x+1}\right)$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(2^x+\sin x\right)^{\frac{1}{e^{2 z}-1}}$ ．
设函数 $f(x)$ 有一阶连续导数，且 $f(0)=f^{\prime}(0)=1$ ，求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(\sin x)-1}{\ln f(x)}$ ．
$\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(\arctan \frac{1}{n}-\arctan \frac{1}{n+1}\right)$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sin 2 x^2+\cos x\right)^{\frac{1}{\sin ^2 x}}$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{3}{1 \times 2^2}+\frac{5}{2^2 \times 3^2}+\cdots+\frac{2 n+1}{n^2 \times(n+1)^2}\right]$
证明题 （共 2 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明方程 $x^3-4 x^2+1=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少有一个根．
设 $f(x)$ 在 $[0,2]$ 上连续，$f(0)+2 f(1)+3 f(2)=12$ ，证明：存在 $c \in[0,2]$ ，使得 $f(c) \doteq 2$ ．