单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(2-2^x\right)^{\frac{1}{x}}=$
$\text{A.}$ 1.
$\text{B.}$ 2 .
$\text{C.}$ $\frac{1}{2}$.
$\text{D.}$ $\ln 2$.
$\text{E.}$ $\sqrt{e}$.
设函数 $f(x)=x^4+\left|x^3\right|$, 则使 $f^{(n)}(0)$ 存在的最高阶数 $n=(\quad)$.
$\text{A.}$ 1 ;
$\text{B.}$ 2 ;
$\text{C.}$ 3 ;
$\text{D.}$ 4.
若 $f(x)=\frac{e^{\frac{1}{x}}-1}{e^{\frac{1}{x}}+1}$, 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 可去间断点
$\text{B.}$ 连续点
$\text{C.}$ 第二类间断点
$\text{D.}$ 跳跃间断点
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{1+|x|^{3 n}}$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$内
$\text{A.}$ 处处可导
$\text{B.}$ 恰有一个不可导点
$\text{C.}$ 恰有两个不可导点
$\text{D.}$ 至少有三个不可导点
下列说法正确的是（ ）．
$\text{A.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 有界，且 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛
$\text{B.}$ 若 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_{2 n}=a, \lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_{n+1}-x_n\right)=0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$
$\text{C.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 单调，数列 $\left\{x_{2 n}\right\}$ 收敛，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 不一定收敛
$\text{D.}$ 若数列 $\left\{x_n\right\}$ 的任何子列都收敛，则数列 $\left\{x_n\right\}$ 不一定收敛
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
曲线 $r=1+\cos \theta$ 在 $\theta=\frac{\pi}{6}$ 处对应点在直角坐标系下的法线方程为
曲线 $y=\frac{2 x^2+3 x-1}{x-1} e ^{\frac{1}{x}}$ 的斜渐近线为
$\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{2}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}\right)=$
设 $f(x)=1-\cos \left( e ^{x^2}-1\right)$ 是 $2^m x^n$ 的等价无穷小（当 $x \rightarrow 0$ 时），则 $m=$ $\qquad$ ，$n=$ $\qquad$ ．
函数 $f(x)$ 的定义域为 $[0, c)$ ，其中 $c>1$ ，值域为 $[1,+\infty), f(0)=1, f^{\prime}(x)=$ $|f(x)|^a$ ，则 $a$ 的取值范围是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $y=\frac{x^3}{(x-1)^2}$ ，求：
（1）函数的单调区间及极值；
（2）函数图形的凹凸区间及拐点；
（3）函数图形的渐近线．
求下列由参数方程所确定的函数的一阶导数 $\frac{d y}{d x}$ 及二阶导数 $\frac{d^2 y}{d x^2}$ ：
（1）$\left\{\begin{array}{l}x=a \cos ^3 \theta \\ y=a \sin ^3 \theta\end{array}\right.$ ．
（2）$\left\{\begin{array}{l}x=\ln \sqrt{1+t^2} \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ ．
求 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty}\left[x+\frac{x}{1+x^2}+\frac{x}{\left(1+x^2\right)^2}+\cdots+\frac{x}{\left(1+x^2\right)^{n-1}}\right]$ 的表达式
试求下列极限：
（1） $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{x^{\ln x}}{(\ln x)^x}$ ．
（2） $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^{-1 / x^2}}{x^{100}}$ ．
设 $(1+\sqrt{3})^n=a_n+\sqrt{3} b_n\left(a_n, b_n \in \mathbb{N}^{+}\right)$
（1）证明：$a_{n+1}=a_n+3 b_n, b_{n+1}=a_n+b_n$
（2）求 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{a_n}{b_n}$
已知函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上有一阶连续导数, 且在开区间内一点 $c \in(a, b)(c>0)$ 处与直线 $y=k$ 相切. 证明: $\exists \eta \in(a, b)$ 且 $\eta \neq c$, 使得 $f^{\prime}(\eta)+2 \eta[f(\eta)-f(b)]=0$.
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
试证明下列极限式：
（1） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{n}=1$ 。
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[2 n+1]{n^2+n}=1$ 。