单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^2 \sin \frac{1}{x^2}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0,\end{array} x \in[-1,1]\right.$ ，则
$\text{A.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可导，且 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续
$\text{B.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可导，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有一个第一类间断点
$\text{C.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上可导，但 $f^{\prime}(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有一个第二类间断点
$\text{D.}$ $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上有一个不可导点。
若 $f(x)=-f(-x)$ ，在 $(0,+\infty)$ 内 $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ，则 $f(x)$ 在 $(-\infty, 0)$ 内（）．
$\text{A.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ；
$\text{B.}$ $f^{\prime}(x) < 0, f^{\prime \prime}(x)>0$ ；
$\text{C.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x) < 0$ ，
$\text{D.}$ $f^{\prime}(x)>0, f^{\prime \prime}(x)>0$,
设函数 $f(x), g(x)$ 是大于零的可导函数，且 $f^{\prime}(x) g(x)-f(x) g^{\prime}(x) < 0$ ，则当 $a < x < b$ 时，有 ．
$\text{A.}$ $f(x) g(b)>f(b) g(x)$
$\text{B.}$ $f(x) g(a)>f(a) g(x)$
$\text{C.}$ $f(x) g(x)>f(b) g(b)$
$\text{D.}$ $f(x) g(x)>f(a) g(a)$
填空题 （共 7 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
当 $x \rightarrow 0$ 时， $\tan x-x$ 是与 $x^n$ 同阶的无穷小，则 $n=$
设 $f(x)$ 的一个原函数是 $\frac{1}{x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$
$y=x \ln \left( e +\frac{1}{x^2}\right)$ 的斜渐近线为
已知 $\lim _{x \rightarrow 2} \frac{x^2+a x+b}{x^2-x-2}=2$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ，$b=$ $\_\_\_\_$
已知 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1+a x^2\right)^{\frac{1}{3}}-1$ 与 $\cos x-1$ 是等价无穷小，则常数 $a=$
设 $f(x)=(x+1)^{12}$ ，则 $f^{\prime \prime \prime}(0)=$
函数 $y=x^3-a x+1$ 在 $x=1$ 处有极值，则 $a=$
解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\tan x-\sin x}{x^3}$
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}\right)^{\tan x}$
$\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(1-x \sin \frac{1}{x}\right)$
$\lim _{x \rightarrow \infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})$
设 $y=(1+\sqrt{x})^5$ ，求 $d y$