单选题 （共 15 题 ），每题只有一个选项正确
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列四个无穷小量中，哪一个是比其他三个更高阶的无穷小量
$\text{A.}$ $x^2$ ．
$\text{B.}$ $1-\cos x$ ．
$\text{C.}$ $\sqrt{1-x^2}-1$ ．
$\text{D.}$ $x-\tan x$ ．
设 $f(x)=2^x+3^x-2$ ，则当 $x \rightarrow 0$ 时
$\text{A.}$ $f(x)$ 是 $x$ 的等价无穷小。
$\text{B.}$ $f(x)$ 与 $x$ 是同阶但非等价无穷小。
$\text{C.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 更高阶的无穷小。
$\text{D.}$ $f(x)$ 是比 $x$ 较低阶的无穷小．
下列函数在其定义域内连续的是
$\text{A.}$ $f(x)=\ln x+\sin x$ ．
$\text{B.}$ $f(x)= \begin{cases}\sin x, & x \leqslant 0, \\ \cos x, & x>0 .\end{cases}$
$\text{C.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x+1, & x < 0, \\ 0, & x=0, \\ x-1, & x>0 .\end{array}\right.$
$\text{D.}$ $f(x)=\left\{\begin{array}{cl}\frac{1}{\sqrt{|x|}}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{array}\right.$
设函数 $f(x)=\frac{x}{a+\mathrm{e}^{b x}}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且 $\lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)=0$ ，则常数 $a, b$ 满足
$\text{A.}$ $a < 0, b < 0$ ．
$\text{B.}$ $a>0, b>0$ ．
$\text{C.}$ $a \leqslant 0, b>0$ ．
$\text{D.}$ $a \geqslant 0, b < 0$ ．
若函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{1-\cos \sqrt{x}}{a x}, & x>0, \\ b, & x \leqslant 0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则
$\text{A.}$ $a b=\frac{1}{2}$ ．
$\text{B.}$ $a b=-\frac{1}{2}$ ．
$\text{C.}$ $a b=0$ ．
$\text{D.}$ $a b=2$ ．
函数 $f(x)=\frac{|x|^x-1}{x(x+1) \ln |x|}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 0.
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 3 ．
函数 $f(x)=\frac{x^2-x}{x^2-1} \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}$ 的无穷间断点的个数为
$\text{A.}$ 0．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 3．
函数 $f(x)=\frac{x-x^3}{\sin \pi x}$ 的可去间断点的个数为
$\text{A.}$ 1．
$\text{B.}$ 2 ．
$\text{C.}$ 3 ．
$\text{D.}$ 无穷多个．
设函数 $f(x)=\frac{1}{\mathrm{e}^{\frac{x}{x-1}}-1}$ ，则
$\text{A.}$ $x=0, x=1$ 都是 $f(x)$ 的第一类间断点．
$\text{B.}$ $x=0, x=1$ 都是 $f(x)$ 的第二类间断点．
$\text{C.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点．
$\text{D.}$ $x=0$ 是 $f(x)$ 的第二类间断点，$x=1$ 是 $f(x)$ 的第一类间断点．
设函数 $f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1+x}{1+x^{2 n}}$ ，讨论函数 $f(x)$ 的间断点，其结论为
$\text{A.}$ 不存在间断点．
$\text{B.}$ 存在间断点 $x=1$ ．
$\text{C.}$ 存在间断点 $x=0$ ．
$\text{D.}$ 存在间断点 $x=-1$ ．
设 $f(x)$ 和 $\varphi(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义，$f(x)$ 为连续函数，且 $f(x) \neq 0$ ， $\varphi(x)$ 有间断点，则
$\text{A.}$ $\varphi[f(x)]$ 必有间断点．
$\text{B.}$ $[\varphi(x)]^2$ 必有间断点．
$\text{C.}$ $f[\varphi(x)]$ 必有间断点．
$\text{D.}$ $\frac{\varphi(x)}{f(x)}$ 必有间断点．
已知数列 $\left\{a_n\right\}$ 单调，下列结论正确的是 ．
$\text{A.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \mathrm{e}_n$ 存在；
$\text{B.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{1+a_n^2}$ 存在；
$\text{C.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \tan a_n$ 存在；
$\text{D.}$ $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1^{\prime}}{1-a_n^2}$ 存在．
当 $x \rightarrow 0^{+}$时，下列无穷小量中，与 $x$ 同阶的无穷小是
$\text{A.}$ $\sqrt{1+x}-1$ ；
$\text{B.}$ $\ln (1+x)-x$ ；
$\text{C.}$ $\cos (\sin x)-1$ ；
$\text{D.}$ $x^x-1$ ．
设 $y=f(x)$ 在 $U\left(x_0, \delta\right)$ 内连续，在 $\dot{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内可导，以下是三个断语：
（1）若 $f\left(x_0\right) \geqslant 0$ ，则存在 $\delta_1>0$ ，使得对任意 $x \in U\left(x_0, \delta_1\right)$ ，都有 $f(x) \geqslant 0$ ；
（2）若 $f^{\prime}\left(x_0\right)$ 存在，则 $f^{\prime}(x)$ 在 $x=x_0$ 处连续；
（3）$f^{\prime}(x)$ 在 $\dot{U}\left(x_0, \delta\right)$ 内无第一类间断点．
上述三个断语中，正确的个数是（ ）。
$\text{A.}$ 0 个；
$\text{B.}$ 1 个；
$\text{C.}$ 2 个；
$\text{D.}$ 3 个．
设函数 $f(x)$ 在区间 $(-\delta, \delta)$ 内有定义，若当 $x \in(-\delta, \delta)$ 时，恒有 $|f(x)| \leqslant x^2$ ，则 $x=0$ 必是 $f(x)$ 的
$\text{A.}$ 间断点．
$\text{B.}$ 连续而不可导的点．
$\text{C.}$ 可导的点，且 $f^{\prime}(0)=0$ ．
$\text{D.}$ 可导的点，且 $f^{\prime}(0) \neq 0$ ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若常数 $p>0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^p}{n^{p+1}-(n-1)^{p+1}}=$