单选题 （共 2 题 ），每题只有一个选项正确
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵， $\boldsymbol{A}$ 的 3 个特征值为 $2,2,3$ ．已知 $\alpha_1, \alpha_2$ 是相应于 $\lambda=2$ 的线性无关的特征向量，$\alpha_3$ 是相应于 $\lambda=3$ 的特征向量．若 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A} \boldsymbol{P}=\left(\begin{array}{lll}2 & & \\ & 2 & \\ & & 3\end{array}\right)$ ，则 $\boldsymbol{P}$ 不能是
$\text{A.}$ $\left(\alpha_1, 2 \alpha_2, \alpha_3\right)$ ．
$\text{B.}$ $\left(\alpha_2, \alpha_1,-\alpha_3\right)$ ．
$\text{C.}$ $\left(\alpha_1+\alpha_2, 2 \alpha_2, \alpha_3\right)$ ．
$\text{D.}$ $\left(3 \alpha_3, 2 \alpha_2, \alpha_1\right)$ ．
设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵，且满足 $\boldsymbol{A}+2 \boldsymbol{A}^2+3 \boldsymbol{A}^3=\boldsymbol{O}$ ，则 $\boldsymbol{A}$ 的秩为
$\text{A.}$ 0 ．
$\text{B.}$ 1 ．
$\text{C.}$ 2 ．
$\text{D.}$ 3 ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 4 阶方阵 A 满足条件 $|5 E+A|=0, A \cdot A^T=2 E,|A| < 0$ ，其中 $E$ 是 4 阶单位矩阵．则 $A$ 的伴随矩阵 $A^*$ 的一个特征值是
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 3 阶实对称矩阵 $A$ 的秩为 $2, \lambda_1=\lambda_2=6$ 是 $A$ 的二重特征值。若 $\alpha _1=(1, a, 0)^{ T }, \alpha _2=(2$, $1,1)^{ T }, \alpha _3=(0,1,-1)^{ T }$ 都是矩阵 $A$ 属于特征值 6 的特征向量.
(I) 求 $a$ 的值;
(II) 求 $A$ 的另一特征值和对应的特征向量;
(III) 若 $\beta =(-2,2,-1)^{ T }$, 求 $A ^n \beta$.
已知 $\xi =[1,1,-1]^{ T }$ 是矩阵 $A =\left[\begin{array}{ccc}2 & -1 & 2 \\ 5 & a & 3 \\ -1 & b & -2\end{array}\right]$ 的一个特征向量．
（1）确定参数 $a, b$ 及 $\xi$ 对应的特征值 $\lambda$ ；
（2） $A$ 是否相似于对角矩阵？说明理由．
设 $\lambda_0$ 是 $n$ 阶可逆阵 $A$ 的特征值．求 $A ^{-1}, I - A ^{-1}$ 及 $A ^*$ 的特征值．
设 $\lambda_1, \lambda_2$ 是 $n$ 阶矩阵 $A$ 的两个不同的特征值． $X _{11}, X _{12}, \cdots$ ， $X _{1 m_1}$ ；及 $X _{21}, X _{22}, \cdots, X _{2 m_2}$ 分别是属于 $\lambda_1, \lambda_2$ 的各自线性无关的特征向量，试证向量组： $X _{11}, X _{12}, \cdots, X _{1 m_1}, X _{21}, X _{22}, \cdots, X _{2 m_2}$ 也线性无关。
设 3 阶方阵 $\boldsymbol{A}$ 有特征值 1 （二重）和 $-1, \alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 1\end{array}\right)$ 是其相应于特征值 1 的特征向量， $\alpha_3=\left(\begin{array}{l}0 \\ 0 \\ 1\end{array}\right)$ 是其相应于特征值 -1 的特征向量．
1．求 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^{9999}$ ．
2．若 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{B}$ 特征值也是 1 （二重）和 -1 ，证明： $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 必定相似．
设实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}k & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}4 & & \\ & 2 & \\ & & 4\end{array}\right)$ 相似，
1．求参数 $\boldsymbol{k}$ 的值；2．求一正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$ ．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
令 A 为 n 阶正定矩阵，证明：（1）存在 n 阶实可逆矩阵 P ，使得 $A=P^T P$ ；为（2）对任意 n 阶实可逆矩阵 $B$ ，存在 n 阶可逆矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q$ 与 $Q^T B Q$ 均为对角矩阵．