单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
(1) 设 $f(x)$ 满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+f(x) \sin 2 x}-1}{e^{x^2}-1}=1$, 则( )
$\text{A.}$ $f(0)=0$
$\text{B.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f(x)=0$
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)=1$
$\text{D.}$ $\lim _{x \rightarrow 0} f^{\prime}(x)=1$
设 $\alpha_1=\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}, \alpha_2=\int_0^{x^4} \frac{1}{\sqrt{1-t^2}} d t, \alpha_3=\int_0^x d u \int_0^{u^2} \arctan t d t$. 当 $x \rightarrow 0$ 时, 以上 3 个无穷小量按照从低阶到高阶的排序是（）
$\text{A.}$ $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$.
$\text{B.}$ $\alpha_1, \alpha_3, \alpha_2$.
$\text{C.}$ $\alpha_2, \alpha_1, \alpha_3$.
$\text{D.}$ $\alpha_3, \alpha_1, \alpha_2$.
若 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^a}{(n+1)^b-n^b}=2022$, 则
$\text{A.}$ $a=-\frac{2021}{2022}, b=\frac{1}{2022}$.
$\text{B.}$ $a=\frac{2021}{2022}, b=-\frac{1}{2022}$.
$\text{C.}$ $a=\frac{2021}{2022}, b=\frac{1}{2022}$.
$\text{D.}$ $a=-\frac{2021}{2022}, b=-\frac{1}{2022}$.
函数 $f(x)=\frac{x(x+1) e^{\frac{1}{x}}}{\ln x^2}$ 的无穷间断点个数为
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
若 $x \rightarrow 0$ 时 $\frac{\cos x+\ln (1+x)}{1+x}=1+a x+b x^2+o\left(x^2\right)$, 则 ( ).
$\text{A.}$ $a=0, b=-1$
$\text{B.}$ $a=-1, b=0$
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$
$\text{D.}$ $a=-1, b=1$
设 $\sin x^n\left(\sqrt{1+x^2}-1\right)+1$ 是 $f(x)$ 的一个原函数, $g(x)=k \int_0^x\left( e ^{ t ^2}-1\right) d t$, 若 $x \rightarrow 0$ 时 $f(x)$ 与 $g(x)$ 是等价无穷小, 则 ( ).
$\text{A.}$ $k=6, n=2$
$\text{B.}$ $k=4, n=2$
$\text{C.}$ $k=6, n=3$
$\text{D.}$ $k=4, n=3$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,+\infty)$ 上可导, 则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在
$\text{B.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在
$\text{C.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在.
$\text{D.}$ 当 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在时, $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\int_0^x f(t) d t}{x}$ 存在.
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1+\sin \frac{\pi}{2} x, & x \leqslant 1, \\ 2-\sqrt{x-1}, & x>1 .\end{array}\right.$ 对 $f(x)$ 给出两个命题: (1) 点 $x=1$ 是 $f(x)$ 的一个极值点；(2) 点 $(1,2)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的一个拐点. 则
$\text{A.}$ (1) 和 (2) 都正确.
$\text{B.}$ (1) 正确, 但 (2) 不正确.
$\text{C.}$ (1) 不正确, 但 (2) 正确.
$\text{D.}$ (1) 和 (2) 都不正确.
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上连续，$T$ 为一常数，则下列命题中错误的是
$\text{A.}$ 对于任意的 $a, \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x=0 \Leftrightarrow f(-x)=-f(x)$ ．
$\text{B.}$ 对于任意的 $a, \int_{-a}^a f(x) \mathrm{d} x=2 \int_0^a f(x) \mathrm{d} x \Leftrightarrow f(-x)=f(x)$ ．
$\text{C.}$ 对于任意的 $a, \int_a^{a+T} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $a$ 无关 $\Leftrightarrow f(x)$ 有周期为 $T$ ．
$\text{D.}$ $f(x+T)=f(x) \Leftrightarrow \int_a^x f(x) \mathrm{d} x$ 以 $T$ 为周期．
设 $a_n>0(n=1,2,3 \cdots), S_n=a_1+a_2+a_3+\cdots+a_n$ ，则数列 $\left\{S_n\right\}$ 有界是数列 $\left\{a_n\right\}$ 收敛的
$\text{A.}$ 充分必要条件．
$\text{B.}$ 充分非必要条件．
$\text{C.}$ 必要非充分条件．
$\text{D.}$ 非充分也非必要．
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设曲线 $L$ 的参数方程为 $\left\{\begin{array}{l}x(t)=\ln \tan \frac{t}{2}+\cos t, \\ y(t)=\sin t,\end{array}\right.$ 其中 $\frac{\pi}{2} < t < \pi$, 则曲线上一点 $M$ 处的切线与 $x$ 轴的交点 $P$ 与点 $M$ 之间的距离为
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{\sin x}-e^x}{\sin x-\sin (\sin x)}=$
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{ e ^{\sin x}- e ^x}{\sin x-\sin (\sin x)}=$
设 $\alpha=\int_0^{x^2} \frac{\sin t-t}{t} d t \sim a x^b \quad(x \rightarrow 0)$, 求 $a, b$ 。
$\lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{x^x-1}{\ln x \cdot \ln (1-x)}=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{x}-\frac{\ln (1+x)}{x \sin x}\right)=$
解答题 （共 6 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
$\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{\mathrm{e}^x-x \arctan x}{\frac{\pi}{2} x+\mathrm{e}^x}$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{2+\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}}{1+\mathrm{e}^{\frac{4}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}\right)$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1-\cos x \cdot \sqrt{\cos 2 x} \cdot \sqrt{\cos 3 x}}{x^2}$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\frac{x^2}{2}+1-\sqrt{1+x^2}}{\left(\cos x-\mathrm{e}^{x^2}\right) \sin x^2}$ ；
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 \ln (2-\cos x)-3\left[\left(1+\sin ^2 x\right)^{\frac{1}{3}}-1\right]}{x^2[\ln (1+x)+\ln (1-x)]}$ ．
设 $f(0)=a>0, f^{\prime}(0)=b$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)^{f(x)}-f(0)^{f(x)}}{x}$ ．