单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
设 $f(t)=\int_t^{2 t} d x \int_x^t e ^{(x-y+1)^2} d y$, 则 $\lim _{t \rightarrow 0^{+}} \frac{f(t)}{t^2}=$
$\text{A.}$ $\frac{ e }{2}$.
$\text{B.}$ $-\frac{ e }{2}$.
$\text{C.}$ 2 e .
$\text{D.}$ -2 e .
设函数 $f(x)$ 可导，$f(0)=2$ ，且 $f^{\prime}(x) < 2 f(x)$ ，则下列结论正确的是（）．
$\text{A.}$ $f(-1)>2$
$\text{B.}$ $f(-1) < \frac{2}{ e ^2}$
$\text{C.}$ $f(1)>2 e ^2$
$\text{D.}$ $f(1) < 2 e ^2$
设函数 $f(x)$ 为 $[0,1]$ 上的可导函数，且 $\left|f^{\prime}(x)\right|$ 在 $[0,1]$ 上的最大值为 $M$ ．若方程 $f(x)- x+1=0, f(x)+x-1=0$ 在 $(0,1)$ 内均有解，则对于满足条件的函数 $f(x)$ ，均有 $($
$\text{A.}$ $|f(0)|+|f(1)| \leqslant M$ ．
$\text{B.}$ $|f(0)|+|f(1)| \geqslant M$ ．
$\text{C.}$ $|f(0)|+|f(1)|=M$ ．
$\text{D.}$ $|f(0)|+|f(1)| \neq M$ ．
填空题 （共 1 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(x)$ 是可导的单调递减函数，且 $f(x)>0$ ，记 $F(x)=\int_0^x f(t) d t$ ．
（1）证明：当 $a>0$ 时，若 $x \in(0, a)$ ，有 $\frac{x}{a} F(a) < F(x) < f(0) x$ ；
（2）若 $f(0) < 1$ ，记 $x_1 \in(0, a), x_{n+1}=F\left(x_n\right), n=1,2, \cdots$ ，证明数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
解答题 （共 11 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 满足 $x_{n+1}=\sqrt{\frac{\pi}{2} x_n \sin x_n}$, 且 $0 < x_1 < \frac{\pi}{2}$. 求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sec x_n-\tan x_n}{\frac{\pi}{2}-x_n}$.
设 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 有二阶连续的导数, 证明: 存在 $\xi \in[-1,1]$ 内使得 $\int_{-1}^1 x f(x) d x=\frac{2}{3} f^{\prime}(\xi)+\frac{1}{3} \xi f^{\prime \prime}(\xi)$.
设 $y=y(x)$ 是由方程 $y^3+x y+x^2-2 x+1=0$ 在点 $(1,0)$ 的某邻域内确定的可微函数, 求 $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{\int_1^x y(t) d t}{(x-1)^3}$.
设 $f(t)=\iint_D|x y-t| d x d y, t \in[0,1]$ ，其中 $D=\{(x, y) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1\}$ ．
（I）求 $f(t)$ ；
（II）证明 $f^{\prime}(t)=0$ 在 $(0,1)$ 内有一个实根．
设有微分方程 $y^{\prime}+\frac{2}{x} y=f(x)$ ，其中 $f(x)$ 具有连续的二阶导数，满足 $f(0)=f^{\prime}(0)=0$ ， $y=y(x)$ 为该微分方程满足 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x}=0$ 的解．
（ I ）证明： $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{y(x)}{x^3}$ 存在；
（II）若 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{y(x)}{x}$ 存在，证明：存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\xi)=0$ ．
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导，且 $f(0)=0, f(1)=1$ ．证明：（1）存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2 \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}\left(\xi_1\right)+f^{\prime}\left(\xi_2\right)=2$ ；
（2）存在 $\xi, \eta \in(0,1)$ ，使得 $\eta f^{\prime}(\xi)=f(\eta) f^{\prime}(\eta)$ ．
讨论方程 $a^x=b x(a>1)$ 的实根个数．
证明：当 $0 < a < b$ 时，$(1+a) \ln (1+a)+(1+b) \ln (1+b) < (1+a+b) \ln (1+a+b)$ ．
证明：（1）$f(x), g(x)$ 均在 $[a, b]$ 上连续，则
$$
\left(\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^2 \leqslant \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x \cdot \int_a^b g^2(x) \mathrm{d} x
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且恒大于零，则 $1 \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ ．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上可导，当 $0 \leqslant x < 1$ 时，恒有 $0 < f(1) < f(x)$ ，且 $f^{\prime}(x) \neq f(x)$ ．证明：在 $(0,1)$ 内存在唯一的点 $\xi$ ，使得 $f(\xi)=\int_0^{\xi} f(t) \mathrm{d} t$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上二阶可导，且 $f(0)=0, \lim _{x \rightarrow+\infty}\left[f(x)+x f^{\prime}(x)\right]=1$ ．证明：
（1）存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\xi)-f^{\prime}(\xi)=0$ ；
（2）存在 $\eta \in(0,+\infty)$ ，使得 $f(\eta)-2 f^{\prime}(\eta)+f^{\prime \prime}(\eta)=0$ ．