单选题 （共 4 题 ），每题只有一个选项正确
设 $A=\left(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3, \alpha_4\right)$ 为 4 阶正交矩阵。若矩阵 $B=\left(\begin{array}{l}\alpha_1^T \\ \alpha_2^T \\ \alpha_3^T\end{array}\right), \beta=\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 1\end{array}\right), k$ 表示任意常数, 则线性方程组 $B x=\beta$ 的通解 $x=(\quad)$
$\text{A.}$ $\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_1$;
$\text{B.}$ $\alpha_1+\alpha_3+\alpha_4+k \alpha_2$;
$\text{C.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_4+k \alpha_3$;
$\text{D.}$ $\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+k \alpha_4$ 。
设 $A$ 是正交矩阵，则下列结论错误的是（ ）
$\text{A.}$ $\left| A ^2\right|$必为 $1$
$\text{B.}$ $| A |$ 必为 1
$\text{C.}$ $A ^{-1}= A ^{ T }$
$\text{D.}$ $A$ 的行（列）向量组是正交单位向量组
设 $\alpha$ 与 $\beta$ 是线性无关的单位向量，则 $\alpha$ 与 $\beta$ 的内积必
$\text{A.}$ > 0
$\text{B.}$ < 0
$\text{C.}$ > 1
$\text{D.}$ < 1
设 $a_1, a_2, a_3$ 线性相关，则以下结论正确的是（）。
$\text{A.}$ $a_1, a_2$ 一定线性相关；
$\text{B.}$ $a_1, a_3$ 一定线性相关；
$\text{C.}$ $a_1, a_2$ 一定线性无关；
$\text{D.}$ 存在不全为零的数 $k_1, k_2, k_3$ ，使得 $k_1 a_1+k_2 a_2+k_3 a_3=0$
填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A=\left(a_{i j}\right)_{3 \times 3}$ 是实正交矩阵，且 $a_{11}=1, b=(1,0,0)^T$ ，则线性方程组 $A x=b$ 的解 $x=$
设 $n$ 阶矩阵 $A =\alpha_1, \alpha_2, \cdots, \alpha_n$ ，证明 $A ^T A$ 是对角矩阵 $\Leftrightarrow \alpha _1, \alpha _2, \cdots \alpha _r$ 两两正交．
设 $\boldsymbol{B}$ 是 3 阶正交矩阵，且 $|\boldsymbol{B}| < 0, \boldsymbol{A}$ 是 3 阶矩阵，且 $|\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}|=6$ ，则 $\left|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}}\right|=$ $\qquad$ ．
设 A 为 3 阶正交矩阵，且 $|\mathrm{A}|=1$ ，则 $|\mathrm{A} *|=$ $\_\_\_\_$ ，其中 $\mathrm{A} *$ 是 A的伴随矩阵。
设 $\boldsymbol{a}=[1,4,3]^T, \boldsymbol{b}=[1,-1,2]^T$ ，则 $\left(\boldsymbol{a b}^T\right)^{100}=$
设向量组 $\boldsymbol{a}_1, \boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{a}_4$ 线性无关， $\boldsymbol{b}_1=\boldsymbol{a}_1+\boldsymbol{a}_2, \boldsymbol{b}_2=2 \boldsymbol{a}_2+\boldsymbol{a}_3, \boldsymbol{b}_3=3 \boldsymbol{a}_3+\boldsymbol{a}_4, \boldsymbol{b}_4=4 \boldsymbol{a}_4+k \boldsymbol{a}_1$ ，则向量组 $\boldsymbol{b}_1, \boldsymbol{b}_2, \boldsymbol{b}_3, \boldsymbol{b}_4$ 线性相关的充要条件是 $k$ 满足
解答题 （共 26 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知矩阵 $A =\left(\begin{array}{ccc}2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5\end{array}\right)$.
(1) 求可逆矩阵 $P$ 使 $P ^{-1} A P =\Lambda$;
(2) 求正交矩阵 $Q$ 使 $Q ^{ T } A Q =\Lambda$.
分别求下列两个向量的内积, 并判断是否正交, 若没有正交, 请利用施密特正交化过程将其化成规范正交向量组.
(1) $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -1\end{array}\right)$
(2) $\alpha_1=\left(\begin{array}{l}2 \\ 1 \\ 0\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{l}0 \\ 1 \\ 0\end{array}\right)$
设 $\alpha_1=\left(\begin{array}{c}1 \\ 2 \\ -1\end{array}\right), \alpha_2=\left(\begin{array}{c}-1 \\ 3 \\ 1\end{array}\right), \alpha_3=\left(\begin{array}{c}4 \\ -1 \\ 0\end{array}\right)$, 利用施密特正交化过程将其化成规范正交向量组.
设
$$
A =\left[\begin{array}{ccc}
1 & -2 & 2 \\
-2 & -2 & 4 \\
2 & 4 & -2
\end{array}\right]
$$
求正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^{-1} A Q$ 为对角矩阵．
证明：（1）若 $|A|=1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式．
（2）若 $|A|=-1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式乘以 $(-1)$ ．
已知 $A$ 是 $2 n+1$ 阶正交矩阵，即
$$
A A^T=A^T A=E . \text { 证明 : }\left|E-A^2\right|=0 \text {. }
$$
求正交矩阵 $T$ ，使 $T^{-1} A T$ 成为对角矩阵：（1）$A=$
$$
\left[\begin{array}{rrr}
1 & -2 & 2 \\
-2 & -2 & 4 \\
2 & 4 & -2
\end{array}\right], \quad \text { (2) } A =\left[\begin{array}{rrrr}
1 & -1 & 0 & 0 \\
-1 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & -1 \\
0 & 0 & -1 & 1
\end{array}\right] .
$$
设 $A , B$ 都是 $n$ 阶实对称矩阵，且有正交矩阵 $T$ ，使 $T ^{-1} A T$ 及 $T ^{-1} B T$ 都是对角阵。试证： $A B$ 也是实对称阵。
试把 $(1,0,1,0)^{ T },(0,1,0,2)^{ T }$ 扩充成为 $R ^4$ 的一组标准正交基．
设 $e_1, e_2, e_3$ 是欧几里得空间 $V$ 的一组标准正交基，试求把 $e_1$变成 $\frac{2}{3} e_1+\frac{2}{3} e_2-\frac{1}{3} e_3$ ，把 $e_2$ 变成 $\frac{2}{3} e_1-\frac{1}{3} e_2+\frac{2}{3} e_3$ 的正交变换。
已知 $A=\left(\begin{array}{ccc}3 & 4 & -2 \\ 4 & 3 & 2 \\ -2 & 2 & 6\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $Q$ ，使 $Q^T A Q$ 为对角矩阵。
设 $A =\left[\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2\end{array}\right]$ ，求正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q ^{-1} A Q = \Lambda$ ．
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{lll}1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1\end{array}\right)$ ，求一个正交矩阵 P ，使得 $\mathrm{P}^{-1} \mathrm{AP}$ 为对角矩阵。
设实对称矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}k & 1 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{lll}4 & & \\ & 2 & \\ & & 4\end{array}\right)$ 相似，
1．求参数 $\boldsymbol{k}$ 的值；2．求一正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ ，使得 $\boldsymbol{Q}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{Q}=\boldsymbol{B}$ ．
令 $\alpha_1=(1, k, 1)^T, \alpha_2=(k, 1,1)^T, \alpha_3=(-1, k-2,-1)^T, \beta=(-1, k-2,-1)^T$ ，
问 $k$ 为何值时
（1）向量 $\beta$ 不能由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示；
（2）向量 $\beta$ 能由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表示法唯一；
（3）向量 $\beta$ 能由向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性表示，且表示法不唯一，并求其一般表达式
计算
$$
D=\left|\begin{array}{cccccc}
4 & 3 & 3 & \cdots & 3 & 3 \\
3 & 5 & 3 & \cdots & 3 & 3 \\
3 & 3 & 6 & \cdots & 3 & 3 \\
\vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
3 & 3 & 3 & \cdots & n+2 & 3 \\
3 & 3 & 3 & \cdots & 3 & n+3
\end{array}\right|
$$
② $a, b$ 为何值时，线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{r}
x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=a \\
3 x_1+2 x_2+x_3+x_4-3 x_5=0 \\
x_2+2 x_3+2 x_4+6 x_5=3 \\
5 x_1+4 x_2+3 x_3+3 x_4-b x_5=2
\end{array}\right.
$$
有解？何时无解？有解时求出解。
设 $R^3$ 中，由第一组基 $\alpha_1=(7,-2,-5)^{\mathrm{T}}, \alpha_2=(-19,5,14)^T, \alpha_3=(-6,3,3)^T$到第二组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$ 的过渡矩阵是 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & -1 & 1\end{array}\right)$ ．
（1）求第二组基 $\beta_1, \beta_2, \beta_3$
（2）若向量 $\eta$ 在第二组基下的坐标是 $(-1,-1,1)$ ，求 $\eta$ 在第一组基下的坐标．
计算$ \left|\begin{array}{lllll}
1 & 2 & 2 & 2 & 2 \\
2 & 3 & 1 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 3 & 1 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 3 & 1 \\
2 & 1 & 1 & 1 & 3
\end{array}\right|$
已知向量组 $\boldsymbol{a}_1=[1,-2,0,1]^T, \boldsymbol{a}_2=[-1,3,2,-2]^T, \boldsymbol{a}_3=[1,-1,2,0]^T$ ，$\boldsymbol{a}_4=[0,1,3,1]^T, \boldsymbol{a}_5=[2,-6,-5, k]^T$ 的秩为 3 ，求 $k$ 及该列向量组的一个极大无关组，并将其它向量用该极大无关组线性表示
设 $\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}1 & 1 & a \\ 1 & a & 1 \\ a & 1 & 1\end{array}\right], \boldsymbol{\beta}=\left[\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ -2\end{array}\right]$ ，已知线性方程组 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{\beta}$ 有解，但不唯一。
1．求 $a$ 的值；
2．求正交矩阵 $\boldsymbol{C}$ ，使 $\boldsymbol{C}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{C}$ 为对角阵。
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 3\end{array}\right)$ ，且 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}$ ，求 $(\boldsymbol{A}-\boldsymbol{E})^{-1}$ 及矩阵 $\boldsymbol{B}$ ．
已知 $\boldsymbol{\alpha}_1=(1,2,-3,0)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_2=(4,1,-2,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_3=(-3,1,-1,-2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_4=(2,-3,4,2)^{\mathrm{T}}$ ， （1）求向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3, \boldsymbol{\alpha}_4$ 的秩 $r$ ，并依此判断向量组的线性相关性；（2）求此向量组的一个极大无关组，并将其余的向量用该极大无关组线性表示．
设 A 是 $\boldsymbol{m} \times \boldsymbol{n}$ 矩阵， B 是 $\boldsymbol{n} \times \boldsymbol{m}$ 矩阵， I 是 n 阶单位矩阵 $(\mathrm{m}>\mathrm{n})$ ，已知 $\mathrm{BA}=\mathrm{I}$ ，试判断 A的列向量组是否线性相关？为什么？
设线性方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
x_1+a_1 x_2+a_1^2 x_3=a_1^3 \\
x_1+a_2 x_2+a_2^2 x_3=a_2^3 \\
x_1+a_3 x_2+a_3^2 x_3=a_3^3 \\
x_1+a_4 x_2+a_4^2 x_3=a_4^3
\end{array}\right.
$$
（1）若 $a_1, a_2, a_3, a_4$ 两两不相等，则此线性方程组无解；
（2）设 $a_1=a_3=k, a_2=a_4=-k(k \neq 0)$ 且已知 $\beta_1=(-1,1,1)^T, \beta_2=(1,1,-1)^T$ 为方程组的两个解，写出此方程组的通解．
设三维列向量 $\boldsymbol{\alpha}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}$ ．
（1）求三维列向量 $\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ ，使 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 为正交向量组；
（2）证明： $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 是 $z^3$ 的基，并求向量 $\boldsymbol{\eta}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$ 在基 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\gamma}$ 下的坐标．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $A$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，且 $A^2=A$ ，证明：存在正交矩阵 $Q$ ，使得 $Q^T A Q=\left(\begin{array}{cc}E_r & 0 \\ 0 & 0\end{array}\right)$ ，其中 $r$ 为 $A$ 的秩。