单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
设 $g(t)$ 是正值连续函数, 且 $f(x)=\int_{-a}^a|x-t| g(t) \mathrm{d} t, a>0, x \in[-a, a]$, 关于曲线 $y=f(x)$, 下列说法正确的是
$\text{A.}$ 在 $[-a, 0]$ 上是凹的, 在 $[0, a]$ 上是凸的
$\text{B.}$ 在 $[-a, 0]$ 上是凸的, 在 $[0, a]$ 上是凹的.
$\text{C.}$ 在 $[-a, a]$ 上是凹的.
$\text{D.}$ 在 $[-a, a]$ 上是凸的.
设 $f(x)=\ln \left(1+x^{\frac{2}{3}}\right)-x^{\frac{2}{3}}$, 则
$\text{A.}$ $f^{\prime}(0)$ 不存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{B.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 不存在.
$\text{C.}$ $f^{\prime}(0)$ 存在, $f^{\prime \prime}(0)$ 存在.
$\text{D.}$ 无法确定 $f^{\prime \prime}(0)$ 是否存在.
已知当 $x \rightarrow 0$ 时, $\left(\mathrm{e}^{\sin ^2 x}-1\right) \ln \left(1+\sin ^2 x\right)$ 是比 $x \sin ^n x$ 高阶的无穷小量, 而 $x \tan x^n$ 是比 $\sqrt{1+\tan x^2}-1$ 高阶的无穷小量, 则正整数 $n=$
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ 2
$\text{C.}$ 3
$\text{D.}$ 4
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n+\frac{1}{2}}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n+\frac{1}{n}}$.
$\text{A.}$ 1;
$\text{B.}$ $\frac{2}{\pi}$
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{2}$
$\text{D.}$ 0
已知 $y=\ln (1-x)$, 则 $\frac{d^n y}{d x^n}=(\quad)$.
$\text{A.}$ $(-1)^{n-1} \frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{B.}$ $-\frac{(n-1)!}{(1-x)^n}$
$\text{C.}$ $(-1)^{n-1} \frac{1}{(1-x)^n}$
$\text{D.}$ $-\frac{1}{(1-x)^n}$
设函数 $f_i(x)(i=1,2)$ 具有二阶连续导数, 且 $f_i^{\prime \prime}\left(x_0\right) < 0(i=1,2)$.若两条曲线 $y=f_i(x)(i=1,2)$ 在点 $\left(x_0, y_0\right)$ 处具有公切线 $y=g(x)$, 且该点处曲线 $y=f_1(x)$ 的曲率大于曲线 $y=f_2(x)$ 的曲率, 则在 $x_0$ 的某个邻域内 ，有 ( )
$\text{A.}$ $f_1(x) \leq f_2(x) \leq g(x)$.
$\text{B.}$ $f_2(x) \leq f_1(x) \leq g(x)$.
$\text{C.}$ $f_1(x) \leq g(x) \leq f_2(x)$.
$\text{D.}$ $f_2(x) \leq g(x) \leq f_1(x)$.
设 $a$ 为正实数, 令 $I_a=\int_{\frac{1}{a}}^a \frac{\ln x}{1+x^2} d x$, 则
$\text{A.}$ $I_a=0$.
$\text{B.}$ $I_a=1$.
$\text{C.}$ $I_a=-1$.
$\text{D.}$ $I_a=2$.
$\text{E.}$ $I_a$ 的值与 $a$ 有关.
极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x t \ln (1+t \sin t) d t}{1-\cos x^2}=(\quad)$ 。
$\text{A.}$ $\frac{1}{4}$
$\text{B.}$ $\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ 1
$\text{D.}$ 2
设 $I_1=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1+x^2} \cos ^4 x \mathrm{~d} x, I_2=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(\sin ^3 x+\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x$ ， $I_3=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\left(x^2 \sin ^3 x-\cos ^4 x\right) \mathrm{d} x$ ，则有
$\text{A.}$ $I_2 < I_3 < I_1$ ；
$\text{B.}$ $I_1 < I_3 < I_2$ ；
$\text{C.}$ $I_2 < I_1 < I_3$ ；
$\text{D.}$ $I_3 < I_1 < I_2$ 。
定积分 $\int_0^{2 \pi} \sin ^4 x \cdot \cos ^2 x \mathrm{~d} x=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{32}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{16}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{64}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$ ．
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $f(a+h)=f(a)+f^{\prime}(a) h+\frac{f^{\prime \prime}(a)}{2} h^2+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!} h^n+\frac{f^{(n+1)}(a+\theta h)}{(n+1)!} h^{n+1}(0 < \theta < 1)$,若 $f^{(n+2)}(x)$ 连续, 且 $f^{(n+2)}(x) \neq 0$, 则 $\lim _{h \rightarrow 0} \theta=$
$\int \frac{1}{\sin x \cos ^3 x} d x$ ．
已知 $f(x)=\frac{\sin x}{1+x^2}$ ，则 $f^{(5)}(0)=$
若常数 $p>0$ ，则 $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n^p}{n^{p+1}-(n-1)^{p+1}}=$
$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \int_{x^2}^{x^3} \frac{\sin t}{t} \mathrm{~d} t=$
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上二阶可导, $f(0)=f(1)=0$, 且对任意 $x \in(0,1)$,均有 $f(x) \neq 0$, 且 $\int_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| d x$ 存在, 证明: $\int_0^1\left|\frac{f^{\prime \prime}(x)}{f(x)}\right| d x \geq 4$.
证明题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上连续，且 $\int_0^\pi f(x) d x=0 $, $\int_0^\pi f(x) \cos x d x=0$ ．证明：在 $(0, \pi)$ 内至少存在两个不同的点 $\xi_1, \xi_2$ ，使 $f\left(\xi_1\right)=f\left(\xi_2\right)=0$ ．（提示：设 $F(x)=\int_0^x f(x) d x$)
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续，且满足 $(f(x))^2 \leq 1+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t, x \in[0,1]$ ，证明： $f(x) \leq 1+x, x \in[0,1]$.
设 $h>0, f(x)$ 为闭区间 $[-h, h]$ 上的无穷可导函数，且 $\forall x \in[0, h]$ ，以及任意的非负整数 $n$ ，都有 $f^{(n)}(x) \geq 0$ 。记 $r_n(x)=\frac{1}{n!} \int_0^x(x-t)^n f^{(n+1)}(t) \mathrm{d} t$ ，求证：$\forall x \in(0, h)$ ，均有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} r_n(x)=0$ 。
已知数列 $\left\{a_n\right\},\left\{b_n\right\}$ 满足 $e^{a_n}=a_n+e^{b_n}$ ，其中 $0 < a_n < \frac{1}{n^2}$ ．
证明：（1） $0 < b_n < \frac{3 a_n^2}{4}$ ；
（2） $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{b_1}{a_1}+\frac{b_2}{a_2}+\cdots+\frac{b_n}{a_n}\right)$ 存在．
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上有 2 阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=f(1)=0$ ．证明：
（1）$f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内存在唯一零点 $x_0$ ，且当 $x \in(0,1)$ 时 $f(x)>0$ ；
（2）$\exists x_1 \in\left(0, x_0\right), x_2 \in\left(x_0, 1\right)$ ，使得 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=\frac{f\left(x_0\right)}{2}$ ，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x < f\left(x_0\right)\left(x_2-x_1\right)$ ．