单选题 （共 5 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $f(x)$ 具有任意阶导数，且 $f^{\prime}(x)=[f(x)]^2$ ，则当 $n$ 为大于 2 的正整数时， $f(x)$ 的 $n$ 阶导数 $f^{(n)}(x)= $
$\text{A.}$ $n[f(x)]^{n+1}$
$\text{B.}$ $n![f(x)]^{2 n}$
$\text{C.}$ $n[f(x)]^{2 x}$
$\text{D.}$ $n![f(x)]^{n+1}$
下列各组函数中，是相同函数的是（ ）．
$\text{A.}$ $f(x)=|x|$ 和 $g(x)=\sqrt{x^2}$
$\text{B.}$ $f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ 和 $y=x+1$
$\text{C.}$ $f(x)=x$ 和 $g(x)=x\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)$
$\text{D.}$ $f(x)=\ln x^2$ 和 $g(x)=2 \ln x$
下列结论正确的是
$\text{A.}$ 若函数 $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x \rightarrow \infty$ 时都是无穷大，则 $f(x)+g(x)$ 无界．
$\text{B.}$ 若函数 $f(x)$ 在区间 $(a, b)$ 内连续，则 $f(x)$ 在 $(a, b)$ 内不一定有界．
$\text{C.}$ 若 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)$ 存在， $\lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在，则 $\lim _{x \rightarrow a} f(x) g(x)$ 一定不存在．
$\text{D.}$ 若 $f(x)$ 是 $x \rightarrow a$ 时的无穷小，则 $\frac{1}{f(x)}$ 是 $x \rightarrow a$ 时的无穷大．
当 $x \rightarrow 0$ 时，下列哪一个无穷小是对于 $x$ 的三阶无穷小？
$\text{A.}$ $x^3+0.0001 x^2$
$\text{B.}$ $\sqrt{2+x^3}-\sqrt{2}$
$\text{C.}$ $\sqrt[3]{\tan x}$
$\text{D.}$ $\sqrt[3]{x^2}-\sqrt{x}$
函数 $f(x)=\frac{(x-1) \sin x}{|x|\left(x^2-1\right)}$ 的第二类间断点的个数是
$\text{A.}$ 0
$\text{B.}$ 1
$\text{C.}$ 2
$\text{D.}$ 3
填空题 （共 4 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
已知 $\lim _{x \rightarrow 3} \frac{x^2-2 x+k}{x-3}=4$ ，则 $k=$
函数 $f(x)=\frac{\left(e^{\frac{1}{x}}+e\right) \tan x}{x\left(e^{\frac{1}{x}}-e\right)}$ 的第一类间断点是
若函数 $y=\frac{x^n}{x-1}$ ，则 $y^{(n)}=$
设函数 $y=f(x)$ 是由方程 $y e^x+\cos y-1=0$ 所确定，则曲线 $y=f(x)$ 在点 $x=0$处的切线方程是
解答题 （共 13 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
求极限 $\lim _{x \rightarrow 1}\left(\frac{m}{1-x^m}-\frac{n}{1-x^n}\right)$ ．
求极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} 2^n \sin \frac{\pi}{2^n}$
求 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(\sin x)^{\tan x}$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{1}{\left(e^x-1\right) \ln (1+x)} \int_0^{x^2}(1-\sin 2 t)^{\frac{1}{t}} d t$
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-x \ln (1+x)}{\sqrt{1+\tan x}-\sqrt{1+\sin x}}$ ．
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\int_0^x(e-1-t)^2 d t}{x \sin ^4 x}$
计算极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x\left[e^{\frac{1}{x}}-x \ln \left(1+\frac{1}{x}\right)\right]$
$\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(x-\frac{1}{e^{\frac{1}{x}}-1}\right)$
计算极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(1+\frac{2}{n}\right) \cdots\left(1+\frac{n}{n}\right)\right]^{\frac{1}{n}}$ ．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-\sin x}{\int_0^x \frac{\ln \left(1+t^3\right)}{t} d t}$ ．
设 $\left\{\begin{array}{l}x=3 t^2+2 t+3 \\ e^y \sin t-y+1=0\end{array}\right.$ ，计算 $\left.\frac{d y}{d x}\right|_{t=0}$
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-4 x^2\right)}{x}, & x>0 \\ a x+b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处可导，求常数 $a, b$ 的值．
求函数 $f(x)=\frac{4(x+1)}{x^2}-2$ 的单调区间、极值点、凹凸区间和拐点．
证明题 （共 17 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $a < b, f(x)$ 是闭区间 $[a, b]$ 上的非负连续函数, 证明:
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty}\left[\int_a^b(f(x))^n d x\right]^{1 / n}=\max _{a \leq x \leq b} f(x) 。
$$
设 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $(a, b)$ 内可导，其中 $0 < a < b$ ，证明：$\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得
$$
f^{\prime}(\xi)=(a+b) \cdot \frac{f^{\prime}(\eta)}{2 \eta}
$$
设 $f(x)$ 在区间 $[a, b]$ 上连续，且 $f(x)>0$ ，在区间 $[a, b]$ 上定义函数
$$
F(x)=\int_a^x f(t) d t+\int_b^x \frac{1}{f(t)} d t
$$
证明：方程 $F(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内只有一个根．
设可导函数 $f(x)$ 满足 $f(1)=1$ ，且对 $x \geq 1$ 时，有 $f^{\prime}(x)=\frac{1}{x^2+f^2(x)}$ 。
（ I ）证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)$ 存在且有限；
（II）证明： $\lim _{x \rightarrow+\infty} f(x) \leq 1+\frac{\pi}{4}$ 。
附加题（本题为附加题，全对才给分，其分数不计入总评，仅用于评判 $A +$ ）
设 $f \in C[0,1], ~ g$ 为非负的周期函数，周期为 1 ，且 $g \in R[0,1]$ ，求证：
$$
\lim _{n \rightarrow+\infty} \int_0^1 f(x) g(n x) d x=\left(\int_0^1 f(x) d x\right)\left(\int_0^1 g(x) d x\right) .
$$
设函数 $f(x)$ 在区间 $[1,2]$ 上连续，在 $(1,2)$ 内可导，且 $f(2)=0$ ．证明：至少存在一点 $\xi \in(1,2)$ 使得
$$
\xi \ln (\xi) f^{\prime}(\xi)+f(\xi)=0
$$
设函数 $f(x)$ 在 $[a, b]$ 上连续，在 $[a, b]$ 上可导，且 $f(a)=f(b)=1$ ，证明：$\exists \xi, \eta \in(a, b)$ ，使得 $e^{\eta-\xi}\left[f^{\prime}(\eta)+f(\eta)\right]=1$ 成立．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^x-1-x-\frac{x}{2} \sin x}{\sin x-x \cos x}$ ．
设函数 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 连续，在 $(0,1)$ 内二阶连续可导，证明：至少存在一点 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2} f(0)+\frac{1}{2} f(1)-\frac{1}{8} f^{\prime \prime}(\xi)$
设 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上的导数 $f^{\prime}(x)$ 单调增加，$f(0)=0$ ，且 $x>0$ 时，$f(x)>0$ ．
（1）证明函数 $g(x)=\frac{f(x)}{x}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加；
（2）如果 $\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{f(x)}{x}=1$ ．证明函数 $F(x)=\frac{1}{x}-\frac{1}{f(x)}$ 在 $(0,+\infty)$ 上单调增加．
设函数 $\boldsymbol{f}(\boldsymbol{x})$ 在 $[0,1]$ 上连续且单调递减，证明对任意的 $\boldsymbol{q} \in[\boldsymbol{0 , 1}]$ ， $\int_0^q f(x) d x \geq q \int_0^1 f(x) d x$
证明 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{x}{1+\cos x+\sin x} d x=\frac{\pi}{4} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin x+\cos x} d x$ ．
设 $x \in\left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ ，证明 $2 \sin x+\tan x \geq 3 x$ 。
设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上非负连续，且满足 $(f(x))^2 \leq 1+2 \int_0^x f(t) \mathrm{d} t, x \in[0,1]$ ，证明： $f(x) \leq 1+x, x \in[0,1]$.
设 $p(x)=x^n+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1 x+a_0$ 为实系数 $n$ 次多项式。若 $p(x) \geq 0$ ， $x \in(-\infty,+\infty)$ ，证明：$p(x)+p^{\prime}(x)+...+p^{(n)}(x) \geq 0, x \in(-\infty,+\infty)$ ．
这里 $p^{\prime}(x), p^{\prime \prime}(x), ~ p^{(n)}(x)$ 表示 $p(x)$ 的一阶，二阶，以及 $n$ 阶导数。
设 $h>0, f(x)$ 为闭区间 $[-h, h]$ 上的无穷可导函数，且 $\forall x \in[0, h]$ ，以及任意的非负整数 $n$ ，都有 $f^{(n)}(x) \geq 0$ 。记 $r_n(x)=\frac{1}{n!} \int_0^x(x-t)^n f^{(n+1)}(t) \mathrm{d} t$ ，求证：$\forall x \in(0, h)$ ，均有 $\lim _{n \rightarrow+\infty} r_n(x)=0$ 。
已知函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上有 2 阶导数，且 $f^{\prime \prime}(x) < 0, f(0)=f(1)=0$ ．证明：
（1）$f^{\prime}(x)$ 在区间 $(0,1)$ 内存在唯一零点 $x_0$ ，且当 $x \in(0,1)$ 时 $f(x)>0$ ；
（2）$\exists x_1 \in\left(0, x_0\right), x_2 \in\left(x_0, 1\right)$ ，使得 $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)=\frac{f\left(x_0\right)}{2}$ ，且 $\int_0^1 f(x) \mathrm{d} x < f\left(x_0\right)\left(x_2-x_1\right)$ ．
设函数 $f(x)$ 在区间 $[0,1]$ 上二阶可导，且 $f(1)>0, \lim _{x \rightarrow 0^{+}} \frac{f(x)}{x}=-1$ ，
证明：（1）方程 $f(x)=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在一个实根．
（2）方程 $f(x) f^{\prime \prime}(x)+\left[f^{\prime}(x)\right]^2=0$ 在区间 $(0,1)$ 内至少存在两个不同实根．