填空题 （共 34 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
微分方程 $x y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}=0$ 的通解为
设 $y=e^x\left(C_1 \sin x+C_2 \cos x\right)\left(C_1, C_2\right.$ 为任意常数 $)$ 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解，则该方程为
设函数 $f(x) ， g(x)$ 满足，
$$
f^{\prime}(x)=g(x) ， g^{\prime}(x)=2 e^x-f(x),
$$
且 $f(0)=0 ， g(0)=2$ ，求
$$
I=\int_0^\pi\left[\frac{g(x)}{1+x}-\frac{f(x)}{(1+x)^2}\right] \mathrm{d} x .
$$
已知函数 $y=y(x)$ 是由方程 $e^y+6 x y+x^2-1=0$ 确定，则 $y^{\prime \prime}(0)=$
微分方程 $y y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ ， $\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ 的特解是
微分方程 $y y^{\prime \prime}+y^{\prime 2}=0$ 满足初始条件 $\left.y\right|_{x=0}=1$ ，$\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{1}{2}$ 的特解是
欧拉方程 $x^2 \frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{~d} x^2}+4 x \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+2 y=0(x>0)$ 的通解为
微分方程 $\left(y+x^3\right) \mathrm{d} x-2 x \mathrm{~d} y=0$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=\frac{6}{5}$ 的特解为
方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解为
方程 $x y^{\prime}+2 y=x \ln x$ 满足 $y(1)=-\frac{1}{9}$ 的解为
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足初始条件 $y(1)=2$ 的特解为
微分方程 $y^{\prime}=\frac{y(1-x)}{x}$ 的通解是
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 e^{2 x}$的通解为 $y=$
二阶常系数非齐次线性微分方程 $y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=2 e^{2 x}$的通解为 $y=$
微分方程 $\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=\frac{y}{x}-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{x}\right)^3$ 满足 $\left.y\right|_{x=1}=1$ 的特解为 $y=$
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解是 $y=$
微分方程 $\left(y+x^2 e^{-x}\right) \mathrm{d} x-x \mathrm{~d} y=0$ 的通解是
微分方程 $x y^{\prime}+y=0$ 满足条件 $y(1)=1$ 的解是 $y=$
若二阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=0$ 的通解为 $y=\left(C_1+C_2 x\right) e^x$ ，则非齐次方程
$$
y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=x
$$
满足条件 $y(0)=2, y^{\prime}(0)=0$ 的解为 $y=$
设 $y=y(x)$ 是方程 $x y+e^y=x+1$ 确定的隐函数，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y^2}{\mathrm{~d} x^2}\right|_{x=0}=$
三阶常系数线性齐次微分方程 $y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$的通解为 $y=$
设可导函数 $y=y(x)$ 由方程
$$
\int_0^{x+y} e^{-t^2} \mathrm{~d} t=\int_0^x x \sin ^2 t \mathrm{~d} t
$$
确定，则 $\left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}=$ $\qquad$ .
微分方程 $y^{\prime}+y=e^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime}+y=e^{-x} \cos x$ 满足条件 $y(0)=0$ 的解为 $y=$
设函数 $f(x)$ 满足方程 $f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-2 f(x)=0$ 及 $f^{\prime \prime}(x)+f(x)=2 e^x ，$ 则 $f(x)=$
微分方程 $y \mathrm{~d} x+\left(x-3 y^2\right) \mathrm{d} y=0$ 满足条件 $\left.y\right|_{x=1}=1$的解为 $y=$
已知 $y_1=e^{3 x}-x e^{2 x}, y_2=e^x-x e^{2 x} ， y_3=-x e^{2 x}$是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程的通解 $y=$
已知 $y_1=e^{3 x}-x e^{2 x} ， y_2=e^x-x e^{2 x} ， y_3=-x e^{2 x}$是某二阶常系数非齐次线性微分方程的 3 个解，则该方程满足的条件 $\left.y\right|_{x=0}=\left.0 ， y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ 的解为 $y=$
微分方程 $y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0$ 通解为 $y=$
微分方程 $x y^{\prime}+y(\ln x-\ln y)=0$ 满足条件 $y(1)=e^3$的解为 $y=$
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处取得极值 3 ，则 $y(x)=$
设函数 $y=y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime \prime}+y^{\prime}-2 y=0$ 的解，且在 $x=0$ 处取得极值 3 ，则 $y(x)=$
以 $y=x^2-e^x$ 和 $y=x^2$ 为特解的一阶非齐次线性微分方程为
微分方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+3 y=0$ 的通解为 $y=$