单选题 （共 10 题 ），每题只有一个选项正确
$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2-\sin ^2 x}{x^4}=$
$\text{A.}$ $-\frac{1}{3}$.
$\text{B.}$ $\frac{1}{3}$.
$\text{C.}$ $-\frac{1}{6}$.
$\text{D.}$ $\frac{1}{6}$.
$\text{E.}$ $1$
设 $x_n=\frac{2}{n}+(-1)^n e ^{(-1)^n n}$ ，则数列 $\left\{x_n\right\}(\quad)$
$\text{A.}$ 有下界，但没有最小值
$\text{B.}$ 有下界且有最小值
$\text{C.}$ 有上界，但没有最大值
$\text{D.}$ 有上界且有最大值
若函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且满足关系式 $f(x)=\int_0^x f(x-t) d t+1$ ，
则 $f(x)=$
$\text{A.}$ $e^x$
$\text{B.}$ $e^x+1$
$\text{C.}$ $e^{-x}$
$\text{D.}$ $e^{-x C_{+}} 1$
定积分 $\int_0^{2 \pi} \sin ^4 x \cdot \cos ^2 x \mathrm{~d} x=$
$\text{A.}$ $\frac{\pi}{32}$ ．
$\text{B.}$ $\frac{\pi}{16}$ ．
$\text{C.}$ $\frac{\pi}{64}$ ．
$\text{D.}$ $\frac{\pi}{8}$ ．
以下三个反常积分中，发散的是
$\text{A.}$ $\int_1^{+\infty} \frac{\ln x}{x^2} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{B.}$ $\int_{-\infty}^{+\infty} x \mathrm{~d} x$ ．
$\text{C.}$ $\int_0^1 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \mathrm{~d} x$ ．
$\text{D.}$ $ \int_1^{+\infty}\frac{1}{x^2}dx$
方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=1+e^x \cos 2 x$ ，则其特解形式为
$\text{A.}$ $y=b+e^x A \cos 2 x$ ．
$\text{B.}$ $y=b+e^x\left(\left(a_0 x+a_1\right) \cos 2 x+\left(c_0 x+c_1\right) \sin 2 x\right)$ ．
$\text{C.}$ $y=b+x e^x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
$\text{D.}$ $y=b+e^x(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ．
已知函数 $f(x)=\frac{\left(x^2+a^2\right)(x-1)}{\mathrm{e}^{\frac{1}{x}}+b}$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 上有一个可去间断点和一个跳跃间断点，则
$\text{A.}$ $a=1, b=-1$ ．
$\text{B.}$ $a=0, b=1$ ．
$\text{C.}$ $a \neq 0, b=-\mathrm{c}$ ．
$\text{D.}$ $a=0, b=-\mathrm{e}$ ．
设 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x^\alpha \sin \frac{1}{x^\beta}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 在 $x=0$ 处连续，则 $\alpha, \beta$ 满足条件
$\text{A.}$ $\alpha>0, \beta>0$ ．
$\text{B.}$ $\alpha < 0, \beta < 0$ ．
$\text{C.}$ $\alpha>0$ ，或 $\beta < 0$ 且 $\alpha-\beta>0$ ．
$\text{D.}$ $\alpha>0, \alpha-\beta < 0$ ．
设数列 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，则
$\text{A.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sin x_n=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
$\text{B.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sqrt{\left|x_n\right|}\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
$\text{C.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+x_n^2\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
$\text{D.}$ 当 $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(x_n+\sin x_n\right)=0$ 时， $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=0$ ．
如图，连续函数 $y=f(x)$ 在区间 $[-3,-2],[2,3]$ 上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间 $[-2,0],[0,2]$ 上的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周．设 $F(x)=\int_0^x f(t) \mathrm{d} t$ ，则下列结论正确的是
$\text{A.}$ $F(3)=-\frac{3}{4} F(-2)$ ．
$\text{B.}$ $F(3)=\frac{5}{4} F(2)$ ．
$\text{C.}$ $F(-3)=\frac{3}{4} F(2)$ ．
$\text{D.}$ $F(-3)=-\frac{5}{4} F(-2)$ ．
解答题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上非负可导，$f(0)=2, f(1)=0$ ，且 $\lim _{x \rightarrow+\infty} f^{\prime}(x)=1$ ．
（I）证明存在 $c \in(0,+\infty)$ ，有 $f(c)=2$ ；
（II）证明存在 $\xi \in(0,+\infty)$ ，有 $f^{\prime}(\xi)+f^2(\xi)=4$ ．