单选题 （共 3 题 ），每题只有一个选项正确
已知 $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^2}{x+1}-a x-b\right)=0$ ，其中 $a, b$ 是常数，则
$\text{A.}$ $a=1, b=1$ ．
$\text{B.}$ $a=-1, b=1$ ．
$\text{C.}$ $a=1, b=-1$ ．
$\text{D.}$ $a=-1, b=-1$ ．
设 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a \tan x+b(1-\cos x)}{c \ln (1-2 x)+d\left(1-\mathrm{e}^{-x^{\prime}}\right)}=2$ ，其中 $a^2+c^2 \neq 0$ ，则必有
$\text{A.}$ $b=4 d$ ．
$\text{B.}$ $b=-4 d$ ．
$\text{C.}$ $a=4 c$ ．
$\text{D.}$ $a=-4 c$ ．
方程 $x^5+x-1=0$ ．
$\text{A.}$ 只有一个实根．
$\text{B.}$ 只有三个实根．
$\text{C.}$ 只有三个实根．
$\text{D.}$ 有五个实根．
填空题 （共 2 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+m & , x < 1 \\ x^2+3 & , x \geq 1\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续，则 $m=$
已知 $\left.\lim _{x \rightarrow( } \frac{x^2+1}{x+1}-x+b\right)=2$ ，则常数 $b=$
解答题 （共 21 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明方程 $\sin x+x+1=0$ 在开区间 $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ 内至少有一个根．
证明方程 $x^5-3 x=1$ 至少有一个根介于 1 和 2 之间．
若方程 $a_0 x^n+a_1 x^{n-1}+\cdots+a_{n-1} x=0$ 有一个正根 $x_0$ ，证明方程
$a_0 n x^{n-1}+a_1(n-1) x^{n-2}+\cdots+a_{n-1}=0$必有一个小于 $x_0$ 的正根．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{\cos ^2 x}{x^2}\right)$ ；
求极限 求 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(1-x \sin \frac{1}{x}\right)(\infty .0)$ ；
求 $\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}(2 x-\pi)\left(\tan ^2 x+1\right) \quad(0 \cdot \infty)$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left( e ^x-1\right)^{\ln (1+\tan x)}$
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} n(\sqrt[n]{n}-1)$ ．
证明 $x=\sin x+2$ 至少有一个不超过 3 的实根．
求极限 $\lim _{x \rightarrow 0}[\cos x+\sin x-\ln (1+x)]^{\frac{1}{x^3}}$ ．
极限 $\lim _{x \rightarrow \infty} x^2\left(1-x \sin \frac{1}{x}\right)=$
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{1}{\sin ^2 x}-\frac{1}{x^2}\right)$ ．
$\lim _{n \rightarrow \infty} n^2\left(\arctan \frac{1}{n}-\arctan \frac{1}{n+1}\right)$ ；
$\lim _{x \rightarrow 0}\left(\sin 2 x^2+\cos x\right)^{\frac{1}{\sin ^2 x}}$
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{3}{1 \times 2^2}+\frac{5}{2^2 \times 3^2}+\cdots+\frac{2 n+1}{n^2 \times(n+1)^2}\right]$
$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{n+k}{n^2+k}$.
设 $x_0=a, x_1=b, x_{n+1}=\frac{1}{2}\left(x_n+x_{n-1}\right)(n=1,2, \cdots)$ ，求 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ ．
设 $0 < x_1 < 1, x_{n+1}=2 x_n-x_n^2$ ，求证 $\left\{x_n\right\}$ 收敛，并求其极限．
（I）证明方程 $\mathrm{e}^x+x^{2 n+1}=0$ 在 $(-1,0)$ 内有唯一的实根 $x_n(n=0,1,2, \cdots)$ ．
（II）证明 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n$ 存在，并求其值．
设 $f(x)$ 是可导函数，且 $f(0)=0$ ，求 $a$ 使 $g(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{1}{x^2} \int_0^x f(t) d, t x \neq 0 \\ a, x=0\end{array}\right.$ 处处连续
设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{\ln \left(1-4 x^2\right)}{x}, & x>0 \\ a x+b, & x \leq 0\end{array}\right.$ 在点 $x=0$ 处可导，求常数 $a, b$ 的值．