【33612】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （四川大学，2011 年）设 $V$ 是 $n$ 维欧氏空间，$V$ 的内积为 $(\cdot, \cdot)$ ． （1）设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_s$ 是 $V$ 中的一个线性无关组．证明：$V$ 中存在两两正交的 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2 \cdots, \boldsymbol{\beta}_s$使对任意 $1 \leqslant k \leqslant s$ ，都有 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_k$ 与 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_k$ 等价； （2）设 $\boldsymbol{\gamma}_i \in V(1 \leqslant i \leqslant t)$ ． 证明： $\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_2, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_t$ 线性无关的充分必要条件是 $$ \left(\begin{array}{ccc} \left(\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_1\right) & \cdots & \left(\boldsymbol{\gamma}_1, \boldsymbol{\gamma}_t\right) \\ \vdots & & \vdots \\ \left(\boldsymbol{\gamma}_t, \boldsymbol{\gamma}_1\right) & \cdots & \left(\boldsymbol{\gamma}_t, \boldsymbol{\gamma}_t\right) \end{array}\right) $$ 为正定矩阵．（中国科学技术大学，2011年）

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【33611】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 设线性无关向量组 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m$ 经 Schmidt 方法化成正交向量组 $\boldsymbol{\beta}_1$ ， $\boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m$ ，证明：两向量组的 Gram 矩阵的行列式都等于 $\left|\boldsymbol{\beta}_1\right|^2\left|\boldsymbol{\beta}_2\right|^2 \cdots\left|\boldsymbol{\beta}_m\right|^2$ ，即 $$ \left|\boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_m\right)\right|=\left|\boldsymbol{G}\left(\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_m\right)\right|=\left|\boldsymbol{\beta}_1\right|^2\left|\boldsymbol{\beta}_2\right|^2 \cdots\left|\boldsymbol{\beta}_m\right|^2 . $$

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【33610】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 设 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 是 $n$ 维欧氏空间 $V$ 的一个基，求证：对任意一组实数 $b_1$ ， $b_2, \cdots, b_n$ ，在 $V$ 中有且仅有一个向量 $\boldsymbol{\beta}$ ，使得 $\left(\boldsymbol{\beta}, \boldsymbol{\alpha}_i\right)=b_i, i=1,2, \cdots, n$ ．

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【33609】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （武汉大学，2010 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶反对称矩阵， $\boldsymbol{b}$ 为 $n$ 维列向量， $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}= \operatorname{rank}(\boldsymbol{A}, \boldsymbol{b})$ ．求证： $$ \operatorname{rank}\left(\begin{array}{cc} \boldsymbol{A} & \boldsymbol{b} \\ -\boldsymbol{b}^{\mathrm{T}} & 0 \end{array}\right)=\operatorname{rank} \boldsymbol{A} . $$

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【33608】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （南开大学，2010 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵，证明： （1） $\operatorname{det} \boldsymbol{A} \geqslant 0$ ； （2）如果 $\boldsymbol{A}$ 的元素全为整数，那么 $\operatorname{det} \boldsymbol{A}$ 必为某个整数的平方．

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【33607】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （上海交通大学，2003 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实反对称矩阵， $\boldsymbol{B}=\operatorname{diag}\left(a_1, a_2, \cdots\right.$ ， $\left.a_n\right)$ ，其中 $a_i>0, i=1,2, \cdots, n$ ．证明：$|\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}|>0$ ．

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【33606】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （北京师范大学，1996 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是实反对称矩阵．证明： （1） $\boldsymbol{A}$ 的非零特征值为纯虚数； （2）若 $\boldsymbol{A}$ 可逆，则 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^{-1}$ 可逆，且 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{A}^2-\boldsymbol{A}^{-1}\right)\left(\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}^{-1}\right)^{-1}$ 是正交矩阵．

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【33605】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （兰州大学，2009 年；华南理工大学，2005 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶正交矩阵，其特征值均为实数．证明： $\boldsymbol{A}$ 是对称矩阵．

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【33604】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （华南理工大学，2008 年；北京邮电大学，2002 年）设 $A$ 是 $n$ 阶实可逆矩阵。证明：存在正交矩阵 $\boldsymbol{Q}$ 和主对角元全为正实数的上三角矩阵 $\boldsymbol{R}$ ，使得 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{Q R}$ ，并且这个表达式是唯一的。

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【33603】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （武汉大学，1996 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & b & -c \\ -b & 0 & a \\ c & -a & 0\end{array}\right)$ 为实矩阵，令 $\boldsymbol{B}=\boldsymbol{A}^2+q \boldsymbol{A}+\boldsymbol{E}$ ，这里 $q=a^2+b^2+c^2, \boldsymbol{E}$ 为三阶单位矩阵。问：当且仅当 $q$ 为何值时，矩阵 $\boldsymbol{B}$ 是正交矩阵？

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