【33602】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （中国科学院大学，2013 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是三阶正交矩阵，证明 $\boldsymbol{A}$ 可以写成 $\boldsymbol{C R}$ ，其中 $\boldsymbol{C}$ 对应于 $\mathbb{R}^3$ 中的旋转变换， $\boldsymbol{R}$ 对应于 $\mathbb{R}^3$ 的恒等变换或对应于 $\mathbb{R}^3$ 中的镜面反射变换．

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【33601】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （浙江大学，2006 年）证明如下（I）和（II）是等价的： （I）方阵 $\boldsymbol{A}$ 是正交矩阵； （II）实方阵 $\boldsymbol{A}$ 的行列式等于 $\pm 1$ ，并且当 $|\boldsymbol{A}|=1$ 时， $\boldsymbol{A}$ 的每一个元素等于该元素的代数余子式，当 $|\boldsymbol{A}|=-1$ 时， $\boldsymbol{A}$ 的每一个元素等于该元素的代数余子式乘－1．

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【33600】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （上海交通大学，1997 年；四川大学，2002 年）已知线性无关向量组 $\boldsymbol{e}_1$ ， $\boldsymbol{e}_2, \cdots, \boldsymbol{e}_s$ 和两个非零正交向量组 $\boldsymbol{f}_1, \boldsymbol{f}_2, \cdots, \boldsymbol{f}_s ; \boldsymbol{g}_1, \boldsymbol{g}_2, \cdots, \boldsymbol{g}_s$ ，使 $\boldsymbol{f}_k$ 与 $\boldsymbol{g}_k(k=1,2, \cdots, s)$ 可由 $\boldsymbol{e}_1$ ， $e_2, \cdots, e_k$ 线性表出．求证：$g_k=a_k f_k\left(k=1,2, \cdots, s\right.$ ，其中 $\left.a_k \neq 0\right)$ ．

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【33599】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （曲阜师范大学，2008年）设 $w_1, w_2, w_3$ 是欧氏空间 $V$ 中两两正交的向量，$V$中的向量 $v$ 不能由 $w_1, w_2, w_3$ 线性表示．设 $\theta_1, \theta_2, \theta_3$ 分别为 $v$ 与 $w_1, w_2, w_3$ 的夹角，证明： $\cos ^2 \theta_1+\cos ^2 \theta_2+\cos ^2 \theta_3<1$ ．

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【33598】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 设 $V_1, V_2$ 是4 维欧氏空间 $\mathbb{R}^4$ 的两个线性子空间，其中 $V_1$ 是由向量 $$ \boldsymbol{\alpha}_1=(1,0,1,-2), \boldsymbol{\alpha}_2=(1,2,-1,0), \boldsymbol{\alpha}_3=(1,1,0,-1) $$ 生成的子空间，$V_2$ 是由向量 $$ \boldsymbol{\beta}_1=(0,-2,2,-2), \boldsymbol{\beta}_2=(-1,3,0,4), \boldsymbol{\beta}_3=(1,5,0,2), \boldsymbol{\beta}_4=(-1,1,2,2) $$ 生成的子空间，求 $V_1$ 与 $V_2$ 的和空间的正交补．

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【33597】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （北京交通大学，1999 年；湘潭大学，2005 年）已知 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中的 $n+1$个向量 $\boldsymbol{\alpha}_0, \boldsymbol{\alpha}_1, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_n$ 的两两间距离均为 $\delta>0$ ，令 $\boldsymbol{\beta}_i=\boldsymbol{\alpha}_i-\boldsymbol{\alpha}_0, i=1,2, \cdots, n$ ．求证： （1）$\left(\boldsymbol{\beta}_i, \boldsymbol{\beta}_j\right)=\frac{1}{2} \delta^2$ ，其中 $i \neq j, i, j=1,2, \cdots, n$ ； （2）向量组 $\boldsymbol{\beta}_1, \boldsymbol{\beta}_2, \cdots, \boldsymbol{\beta}_n$ 线性无关．

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【33596】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （北京大学，2005 年）设实数域 $\mathbb{R}$ 上 $n$ 阶方阵 $\boldsymbol{H}$ 的 $(i, j)$ 元为 $\frac{1}{i+j-1}(n>1)$ ．在实数域上 $n$ 维线性空间 $\mathbb{R}^n$ 中，对于 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in \mathbb{R}^n$ ，令 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{H} \boldsymbol{\beta}$ ．试问：$f$ 是不是 $\mathbb{R}^n$ 上的一个内积？写出理由．

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【33595】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《欧氏空间》】 解答题 （武汉大学，2011 年）设在 $n$ 维欧氏空间 $V$ 中，向量 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}$ 的内积记为 $(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ ， $T$ 为 $V$ 的线性变换．对于 $\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V$ ，定义二元函数 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=(T(\boldsymbol{\alpha}), T(\boldsymbol{\beta}))$ 。问 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是否为 $V$ 的内积？请阐述理由．

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【33594】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （东北大学，2003 年）设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，$x$ 为任一 $n$ 维非零实向量．证明：存在 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量 $\boldsymbol{\xi}$ ，使 $\boldsymbol{\xi} \in L\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}, \cdots\right)$ ，这里 $L\left(\boldsymbol{x}, \boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}, \cdots\right)$ 表示由 $\boldsymbol{x}$ ， $\boldsymbol{A x}, \boldsymbol{A}^2 \boldsymbol{x}, \cdots$ 生成的子空间．

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【33593】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （中国科学院，2001年；湖南大学，2002年）设 $A, B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，试证明： $$ \operatorname{tr}(A B A B) \leqslant \operatorname{tr}(A A B B) $$ 其中 $\operatorname{tr} \boldsymbol{A}$ 表示方阵 $\boldsymbol{A}$ 的迹（即 $\boldsymbol{A}$ 的对角元素之和）．

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