【33592】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （东南大学，2005年）假设 3 阶实对称矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 2 ，并且 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ ，其中 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}1 & 1 \\ 0 & 0 \\ -1 & 1\end{array}\right), \boldsymbol{C}=\left(\begin{array}{cc}-1 & 1 \\ 0 & 0 \\ 1 & 1\end{array}\right)$ ，求 $\boldsymbol{A}$ 的所有特征值及相应的特征向量，并求矩阵 $\boldsymbol{A}$ 及 $\boldsymbol{A}^{9999}$ 。

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【33591】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （南京大学，2014 年；浙江大学，2008 年）已知 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrrr}0 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 1 & 0\end{array}\right)$ ，求正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ，使 $\boldsymbol{P}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A P}$ 成为对角矩阵．

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【33590】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （中国科学院，2003 年）设 $\boldsymbol{Q}$ 为 $n$ 阶实对称正定矩阵， $\boldsymbol{x}$ 是 $n$ 维实列向量．证明： $$ 0 \leqslant \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\left(\boldsymbol{Q}+\boldsymbol{x} \boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}\right)^{-1} \boldsymbol{x}<1 $$ 这里 $\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}}$ 表示 $\boldsymbol{x}$ 的转置．

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【33589】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （厦门大学，2006 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶实对称矩阵，证明 $\boldsymbol{A}$ 可逆的充分必要条件是存在矩阵 $\boldsymbol{B}$ 使 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A}$ 为正定矩阵，其中 $\boldsymbol{B}^{\mathrm{T}}$ 为 $\boldsymbol{B}$ 的转置矩阵．

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【33588】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （中国科学院，2004 年）设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 为同阶实对称正定矩阵，且 $\boldsymbol{A}>\boldsymbol{B}$（即 $\boldsymbol{A}-\boldsymbol{B}$ 为正定矩阵），试问是否一定有 $\boldsymbol{A}^2>\boldsymbol{B}^2$ ？为什么？

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【33587】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 设二次型 $f\left(x_1, x_2, x_3\right)=a\left(x_1^2+x_2^2+x_3^2\right)+2 x_1 x_2-2 x_2 x_3+2 x_3 x_1$ ． （1）问当 $a$ 取何值时，$f$ 为正定二次型？ （2）取 $a=1$ ，试用非退化线性替换把 $f$ 化为规范形，并写出所用线性替换； （3）取 $a=1$ ，问当 $b$ 取何值时，矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr}1 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & b\end{array}\right)$ 与 $f$ 的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 合同？

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【33586】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （武汉大学，2011年；北京师范大学，1995年）设 $n$ 元实二次型 $f(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$的秩为 $n$ ，正、负惯性指数分别为 $p, q$ ，且 $p \geqslant q>0$ ． （1）证明存在 $\mathbb{R}^n$ 的一个 $q$ 维子空间 $W$ ，使 $\forall x_0 \in W, f\left(x_0\right)=0$ ； （2）令 $T=\left\{\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^n \mid f(\boldsymbol{x})=0\right\}$ ，问 $T$ 是否与 $W$ 相等？为什么？

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【33585】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （华南理工大学，2016 年）设 $l_i=c_{i 1} x_1+c_{i 2} x_2+\cdots+c_{i n} x_n, i=1,2, \cdots, p+q$ ，这里 $c_{i j} \in \mathbb{R}$ ．试证明：$n$ 元实二次型 $f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=l_1^2+l_2^2+\cdots+l_p^2-l_{p+1}^2-\cdots-l_{p+q}^2$ 的正惯性指数 $\leqslant p$ ，负惯性指数 $\leqslant q$ ．

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【33584】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （北京交通大学，2015 年）设 $\boldsymbol{A}=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 为 $n$ 阶实对称矩阵， $\operatorname{rank} \boldsymbol{A}=n$ ，作实二次型 $$ f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{i j} x_i x_j, \quad g\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \frac{A_{i j}}{|\boldsymbol{A}|} x_i x_j, $$ 其中 $A_{i j}$ 是 $a_{i j}$ 的代数余子式 $(i, j=1,2, \cdots, n)$ ．证明：$f$ 与 $g$ 具有相同的正、负惯性指数．

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【33583】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （华东师范大学，2000 年）求一可逆线性替换，把二次型 $$ 2 x_1^2-2 x_1 x_2+5 x_2^2-4 x_1 x_3+4 x_3^2 $$ 与 $$ \frac{3}{2} x_1^2-2 x_1 x_3+3 x_2^2-4 x_2 x_3+2 x_3^2 $$ 同时化为标准形．

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