【33582】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （上海大学，2007 年）设二次型 $f(\boldsymbol{x})=2 x_1^2+2 x_2^2+a x_3^2+2 x_1 x_2+2 b x_1 x_3+2 x_2 x_3$ 经过正交变换 $\boldsymbol{x}=\boldsymbol{P} \boldsymbol{y}$ 化为标准形 $f=y_1^2+y_2^2+4 y_3^2$ ．求参数 $a, b$ 及正交矩阵 $\boldsymbol{P}$ ．

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【33581】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （武汉大学，2003 年）求实二次型 $$ f\left(x_1, x_2, \cdots, x_n\right)=n \sum_{i=1}^n x_i^2-\left(\sum_{i=1}^n x_i\right)^2 $$ 的秩和正、负惯性指数 $(n \geqslant 2)$ ．

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【33580】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （北京交通大学，2004 年）设 $\boldsymbol{A}$ 是 $n$ 阶可逆实矩阵，$B=\left(\begin{array}{cc}\boldsymbol{O} & \boldsymbol{A} \\ \boldsymbol{A}^{\mathrm{T}} & \boldsymbol{O}\end{array}\right)$ ．求 $\boldsymbol{B}$ 的正、负惯性指数．

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【33579】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （南京理工大学，2007 年）设 $V$ 是复数域上的线性空间，其维数 $n \geqslant 2, f(\boldsymbol{\alpha}$ ， $\boldsymbol{\beta}$ ）是 $V$ 上的一个对称双线性函数． （1）证明 $V$ 中有非零向量 $\boldsymbol{\xi}$ ，使 $f(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi})=0$ ； （2）如果 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是非退化的，那么必有线性无关的向量 $\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta} \in V$ ，满足 $$ f(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\eta})=1, \quad f(\boldsymbol{\xi}, \boldsymbol{\xi})=f(\boldsymbol{\eta}, \boldsymbol{\eta})=0 $$

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【33578】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （北京大学，1999 年）设实数域上的矩阵 $\boldsymbol{A}$ 为 $$ A=\left(\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 6 & -2 \\ 1 & -2 & 2 \end{array}\right) . $$ （1）判断 $\boldsymbol{A}$ 是否为正定矩阵，要求写出理由； （2）设 $V$ 是实数域上的 3 维线性空间，$V$ 上的一个双线性函数 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 在 $V$ 的一个基 $\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2, \boldsymbol{\alpha}_3$ 下的度量矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ．证明 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是 $V$ 的一个内积，并且求出 $V$ 对于这个内积所成的欧氏空间的一个标准正交基．

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【33577】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 设 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是实数域上 $n$ 维线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，$f$ 关于 $V$ 的一个基的度量矩阵为 $\boldsymbol{A}$ ．已知 $n$ 元实二次型 $g(\boldsymbol{x})=\boldsymbol{x}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{A} \boldsymbol{x}$ 的负惯性指数等于 0 ．证明： $$ W=\{\boldsymbol{\alpha} \in V \mid f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\alpha})=0\} $$ 是 $V$ 的一个子空间，并求 $W$ 的维数 $\operatorname{dim} W$ ．

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【33576】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （北京大学，2012 年）设 $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是数域 $K$ 上线性空间 $V$ 上的对称双线性函数，已知 $f$ 能分解成 $V$ 上的两个线性函数 $f_1$ 与 $f_2$ 之积： $$ f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=f_1(\boldsymbol{\alpha}) f_2(\boldsymbol{\beta}), \quad \forall \boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta} \in V . $$ 证明：存在非零常数 $k \in K$ 及线性函数 $g$ ，使 $$ f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})=k g(\boldsymbol{\alpha}) g(\boldsymbol{\beta}) . $$

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【33575】 【 樊启斌-高等代数典型问题与方法《二次型与实对称矩阵》】 解答题 （武汉大学，2014 年；南开大学，2008 年）设 $V$ 是数域 $K$ 上的 $n$ 维线性空间， $f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta})$ 是 $V$ 上的非退化双线性函数．证明：对任何 $g \in V^*$ ，存在唯一的 $\boldsymbol{\alpha} \in V$ ，使得 $$ g(\boldsymbol{\beta})=f(\boldsymbol{\alpha}, \boldsymbol{\beta}), \quad \forall \boldsymbol{\beta} \in V . $$

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【33574】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $f \in C^1[0,1]$ 满足 $$ f(x) \ln ^2 x+x f^{\prime}(x) \leqslant 0, \quad \forall x \in(0,1) . $$ 证明下列结论之一成立： （1） $\int_0^1 f(t) d t<\int_0^x f(t) d t \leqslant 0(\forall x \in(0,1))$ ； （2）$f(x)=0(\forall x \in[0,1])$ ．

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【33573】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $k$ 为正整数． （1）证明：对任何 $k \geqslant 1$ ，方程 $x^{3 k+1}+x^2-6 x+1=0$ 在 $\left(0, \frac{1}{2}\right)$ 内有唯一根 $x_k$ ； （2）证明：点列 $\left\{x_k\right\}$ 严格单减； （3）求极限 $\lim _{k \rightarrow+\infty} x_k$ ．

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