【33572】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $A$ 为 $n$ 阶方阵，其主对角线上的元素皆为 3 ，其余位置上的元素不是 2 就是 2029．证明： $\operatorname{rank} A=n$ 或 $n-1$

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【33571】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $m, n$ 为大于 2 的整数，$a_1, \cdots, a_{m+1}$ 为任意 $m+1$ 个有理数， $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 为有理数域上 $n$ 阶方阵全体．证明： （1） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $B_1, \cdots, B_m$ 使得行列式 $\left|B_j\right|=j(j=1, \cdots, m)$ 成立． （2） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $A_1, \cdots, A_m$ 使得下列两条同时成立： （i）$\left|A_j\right|=a_j(j=1, \cdots, m)$ ； （ii）$\left|A_1-A_2-\cdots-A_m\right|=a_{m+1}$ ．

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【33570】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 设 $N \geqslant 1, \mathcal{S}$ 是包含 $N$ 个整数的集合，满足如下的加性唯一性条件： 若 $n_k \in \mathcal{S}(1 \leqslant k \leqslant 4)$ 且 $n_1+n_2=n_3+n_4$ ，则必有 $n_1=n_3$ 或 $n_1=n_4$ ．令 $f(x):=\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i n x}$ ． （1）计算 $\int_0^1|f(x)|^2 d x, \int_0^1|f(x)|^4 d x$ ． （2）证明： $\int_0^1|f(x)| d x \geqslant \frac{1}{2 \sqrt{N}}$ ．

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【33569】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类B类）试题及详细解答】 解答题 三角形三条中线的交点称为三角形的重心．在四面体 $A B C D$中，记 $\overrightarrow{e_1}:=\overrightarrow{A B}, \overrightarrow{e_2}:=\overrightarrow{A C}, \overrightarrow{e_3}:=\overrightarrow{A D}$ ，并设 $O_1, O_2$ 和 $O_3$ 分别为 $\triangle B C D, \triangle A C D$ 和 $\triangle A B D$ 的重心． （1）在坐标系 $\left\{A, \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}\right\}$ 下，求 $O_1$ 点的坐标 $(x, y, z)$ ，其中 $$ \overrightarrow{A O_1}=x \overrightarrow{e_1}+y \overrightarrow{e_2}+z \overrightarrow{e_3} ; $$ （2）证明三直线 $A O_1, B O_2$ 及 $C O_3$ 相交于一点 $P$ ； （3）在坐标系 $\left\{A, \overrightarrow{e_1}, \overrightarrow{e_2}, \overrightarrow{e_3}\right\}$ 下，求（2）中交点 $P$ 的坐标．

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【33568】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $\mathcal{A}$ 为正整数集 $\mathbb{Z}_{+}$的子集， $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{S_n(0,1)}{n}$ 存在，记为 $p$ ，其中对于 $0 \leqslant a \leqslant b \leqslant 1, S_n(a, b)$ 表示集合 $\{k \in \mathcal{A} \mid a n \leqslant k \leqslant b n\}$ 的元素个数． （1）若 $0<a<b<1$ ，证明极限 $\lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{S_n(a, b)}{n}$ 存在并求其值． （2）若 $f$ 在 $[0,1]$ 上 Riemann 可积，证明： $$ \lim _{n \rightarrow+\infty} \frac{1}{n} \sum_{k \leqslant n, k \in \mathcal{A}} f\left(\frac{k}{n}\right)=p \int_0^1 f(x) d x $$

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【33567】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $f \in C[0,1] \cap C^2(0,1), \sup _{x \in(0,1)} f^{\prime \prime}(x)=2$ ．证明：存在唯一的二次多项式 $P(x)=x^2+b x+c$ ，使得 $P(0)-f(0)=P(1)-f(1)=0$ ，且下列结论之一成立： （1）$f(x)>P(x)(\forall x \in(0,1))$ ； （2）$f(x)=P(x)(\forall x \in[0,1])$ ．

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【33566】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $K$ 为数域， $\mathcal{A}: V \rightarrow V$ 是 $n$ 维 $K$－向量空间 $V$ 上的线性算子（线性变换），$\mu_{\mathcal{A}}(x), \chi_{\mathcal{A}}(x) \in K[x]$ 分别是 $\mathcal{A}$ 的极小多项式和特征多项式．证明： （1）存在 $\alpha \in V$ 使 $\mu_{\mathcal{A}}(x)=\mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ ，其中 $\mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ 是集合 $$ \{f(x) \in K[x] \mid f(\mathcal{A})(\alpha)=0\} $$ 中首项系数为 1 ，次数最小的多项式； （2）$K[\mathcal{A}] \cdot \alpha:=\{f(\mathcal{A})(\alpha) \mid \forall f(x) \in K[x]\}$ 是 $\operatorname{deg} \mu_{\mathcal{A}, \alpha}(x)$ 维 $\mathcal{A}$－不变子空间； （3）设 $\mathcal{B}: V \rightarrow V$ 是任意线性算子．若 $\mu_{\mathcal{A}}(x)=\chi_{\mathcal{A}}(x)$ ，则 $$ \mathcal{A} \cdot \mathcal{B}=\mathcal{B} \cdot \mathcal{A} \Longleftrightarrow \text { 存在 } f(x) \in K[x] \text { 使 } \mathcal{B}=f(\mathcal{A}) \text {. } $$

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【33565】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $m, n$ 为大于 2 的整数，$a_1, \cdots, a_{m+1}$ 为任意 $m+1$ 个有理数， $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 为有理数域上 $n$ 阶方阵全体．证明： （1） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $B_1, \cdots, B_m$ 使得行列式 $\left|B_j\right|=j(j=1, \cdots, m)$ 成立． （2） $\mathbb{Q}^{n \times n}$ 中存在 $m$ 个元素 $A_1, \cdots, A_m$ 使得下列两条同时成立： （i）$\left|A_j\right|=a_j(j=1, \cdots, m)$ ； （ii）$\left|A_1-A_2-\cdots-A_m\right|=a_{m+1}$ ．

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【33564】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 设 $N \geqslant 1, \mathcal{S}$ 是包含 $N$ 个整数的集合，满足如下的加性唯一性条件： 若 $n_k \in \mathcal{S}(1 \leqslant k \leqslant 4)$ 且 $n_1+n_2=n_3+n_4$ ，则必有 $n_1=n_3$ 或 $n_1=n_4$ ．令 $f(x):=\sum_{n \in \mathcal{S}} e^{2 \pi i n x}$ ． （1）计算 $\int_0^1|f(x)|^2 d x, \int_0^1|f(x)|^4 d x$ ． （2）证明： $\int_0^1|f(x)| d x \geqslant \frac{1}{2 \sqrt{N}}$ ．

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【33563】 【 第十七届全国大学生数学竞赛初赛（数学类A类）试题及详细解答】 解答题 记三维欧氏空间中不共面的四点 $A, B, C, D$ 生成的四面体为 $A B C D$ ．在四面体 $A B C D$ 内部取一点 $O$ ，设四面体 $O B C D$ 的体积为 $V_A$ ，四面体 $O A C D$ 的体积为 $V_B$ ，四面体 $O A B D$ 的体积为 $V_C$ ，四面体 $O A B C$ 的体积为 $V_D$ ． （1）求证：$(\overrightarrow{O A} \cdot(\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D}))(\overrightarrow{O B} \cdot(\overrightarrow{O C} \times \overrightarrow{O D}))<0$ ； （2）求证：$V_A \overrightarrow{O A}+V_B \overrightarrow{O B}+V_C \overrightarrow{O C}+V_D \overrightarrow{O D}=\overrightarrow{0}$ ． [img=/uploads/2025-11/ef5c8d.jpg][/img]

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