单选题 （共 8 题 ），每题只有一个选项正确
设对＂$\forall \varepsilon \in(0,1), \exists 一 个$ 正整数 $N$ ，当 $n \geqslant N$ 时，恒有 $\left|x_n-a\right| < 2 \varepsilon$＂是 $\lim _{n \rightarrow \infty} x_n=a$ 的
$\text{A.}$ 充分条件
$\text{B.}$ 必要而非充分条件
$\text{C.}$ 充分必要条件
$\text{D.}$ 既非充分又非必要条件。
设 $f(x)=\int_0^{\sin x}(1-\cos t) d t, g(x)=\tan x-\sin x$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶而非等价无穷小
设 $f(x)=\int_0^{5 x} \frac{\sin t}{t} d t, g(x)=\int_0^{\sin x}(1+t)^{\frac{1}{t}} d t$ ，当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $g(x)$ 的
$\text{A.}$ 高阶无穷小
$\text{B.}$ 低阶无穷小
$\text{C.}$ 等价无穷小
$\text{D.}$ 同阶而非等价无穷小
把 $x \rightarrow 0^{+}$时的无穷小 $\alpha=\int_0^{\sin x} \cos t^2 d t, \beta=\int_0^{x^2} \tan \sqrt{t} d t, \gamma=\int_0^{\sqrt{x}} \sin t^3 d t$ 进行排列，使后者是前者的高阶无穷小．正确的排列是
$\text{A.}$ $\alpha, \beta, \gamma$
$\text{B.}$ $\alpha, \gamma, \beta$
$\text{C.}$ $\beta, \alpha, \gamma$
$\text{D.}$ $\beta, \gamma, \alpha$
在下列选择中，当 $x \rightarrow 0^{+}$时，是 $\sqrt{x}$ 的等价无穷小的是
$\text{A.}$ $1- e ^{\sqrt{x}}$
$\text{B.}$ $\ln \frac{1+x}{1-\sqrt{x}}$
$\text{C.}$ $\sqrt{1+\sqrt{x}}-1$
$\text{D.}$ $1-\cos \sqrt{x}$
$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{2+ e ^{\frac{1}{x}}}{1- e ^{\frac{1}{x}}}+\frac{\sin x}{|x|}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ ，则在点 $x=0$ 处 $f(x)$ ．
$\text{A.}$ 极限存在但不连续
$\text{B.}$ 仅左连续
$\text{C.}$ 仅右连续
$\text{D.}$ 连续
设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内有定义． $\lim _{x \rightarrow \infty} f(x)=a$ ，令 $g(x)=\left\{\begin{array}{c}f\left(\frac{1}{x}\right), x \neq 0 \\ 0, x=0\end{array}\right.$ ，则（D）．
$\text{A.}$ $x=0$ 必为 $g(x)$ 的连续点
$\text{B.}$ $x=0$ 必为 $g(x)$ 的第 I 类间断点
$\text{C.}$ $x=0$ 必为 $g(x)$ 的第 II 类间断点
$\text{D.}$ $g(x)$ 的连续性与 $a$ 有关
$\lim _{x \rightarrow \infty}\left[\frac{x^2}{(x-a)(x+b)}\right]^x=( D )$ ．
$\text{A.}$ 1
$\text{B.}$ e
$\text{C.}$ $e ^{b-a}$
$\text{D.}$ $e ^{a-b}$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)=2 x-\sin x-\sin x \cos x$ ．当 $x \rightarrow 0$ 时，$f(x)$ 是 $x$ 的 $\qquad$阶无穷小．
设 $f(x)=1-\cos \left( e ^{x^2}-1\right)$ 是 $2^m x^n$ 的等价无穷小（当 $x \rightarrow 0$ 时），则 $m=$ $\qquad$ ，$n=$ $\qquad$ ．
当 $x \rightarrow 0$ 时，$\left(1-a x^2\right)^{\overline{4}}-1$ 与 $x \sin x$ 是等价无穷小，则 $a=$ $\qquad$ ；
试确定常数 $a, b, c$ 的值，使得 $\ln (1+x)-\frac{a x}{1+b x}=c x-x^2+o\left(x^3\right)$ ，其中 $o\left(x^3\right)$ 是当 $x \rightarrow 0$ 时比 $x^3$ 高阶的无穷小．
$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{(-1)^n}=$
解答题 （共 7 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设 $f(x)=\frac{\left(x^2-2 x-3\right) e ^{\frac{1}{x}}}{\left(x^2-1\right) \arctan x}$ ，求 $f(x)$ 的间断点，并判别类型．
（讨论 $x \rightarrow 0$ 时如果含有 $e ^{\frac{1}{x}},|x|=\sqrt{x^2}, ~ \arctan \frac{1}{x}, \operatorname{arccot} \frac{1}{x}$ ，我们一定要分成 $x \rightarrow 0^{+}, x \rightarrow 0^{-}$两种情况）
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\ln (1+2 x)+x f(x)}{x^2}=1$ ，则 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2+f(x)}{x}=$ $\qquad$ ．
已知 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{x^2+f(x)}{x^2 \sin ^2 x}=1$ ，求 $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sin ^2 x+f(x)}{x^2 \sin ^2 x}$ ．
求 $\lim _{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{2^n+4^n+\cdots+20^n}$ ．
求 $\lim _{x \rightarrow+\infty}(\sin \sqrt{x+1}-\sin \sqrt{x})$ ．
下列结论正确的是
（A） $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x=1$
（B） $\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e$
（C） $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^{-x}=- e$
（D） $\lim _{x \rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x= e ^{-1}$
设 $f(x)$ 在 $(0,+\infty)$ 内可导，$f(x)>0, \lim _{x \rightarrow+\infty} f(x)=1$ ，且有 $\lim _{h \rightarrow 0}\left[\frac{f(x+h x)}{f(x)}\right]^{\frac{1}{h}}= e ^{\frac{1}{x}}$ ，求 $f(x)$ ．