解答题 （共 9 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
甲，乙两人对同一目标进行射击，命中的概率分别为 $0.5, ~ 0.6$ 。试在（1），（2）两种情况下，分别求＂已知目标被击中，则甲射中＂的概率。（1）在甲，乙两人中随机挑选一人，由他（她）射击一次；（2）甲，乙两人独立地各射击一次。
已知随机变量 的均值为 50, 分布律为
求：（1）常数 $c$ 与 $x_1$ 的值；（2）$X$ 的分布函数 $F(x)$ 。
设随机变量 $X$ 的概率密度为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{2}, & -1 < x < 0 \\
a, & 0 < x < 2 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求：（1）$a$ 的值；（2）$Y=1-|X|$ 的概率密度 $f_Y(y)$ 。
设二维随机向量$(X,Y)$的分布律为
求：（1）$P\{\min \{X, Y\}=1\}$ ；（2） $\operatorname{Cov}(X, Y)$ ；（3）判断 $X$ 和 $Y$ 的独立性，并说明理由。
设随机变量 $(X, Y)$ 的概率密度为
$$
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}
6 x, & 0 < x < y < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
求：（1）边缘概率密度 $f_X(x)$ ；（2）$P\{X+Y < 1\}$ 。
某设备制造了 1200 个零件，假设每个零件的质量（单位：公斤）服从区间 $(1.95,2.05)$ 内的均匀分布，且每个零件的质量相互独立，求这些零件的总质量大于 2402 公斤的概率。 $(\Phi(2)=0.9772)$
设 $X_i(i=1,2,3,4,5)$ 是来自正态总体 $X \sim N(0,2)$ 的样本，若
$$
\frac{X_3}{\sqrt{a\left(X_1+X_2\right)^2+b\left(X_3-X_4\right)^2}}
$$
服从自由度为 $n$ 的 $t$ 分布，其中 $a, b$ 均为不等于 0 的常数，求 $a, b$ 以及自由度 $n$ 。
为了解一批灯泡的使用寿命的均值 $\mu$ 及方差 $\sigma^2$ ，测量了 20 只灯泡，得 $\bar{x}=1650$ 小时，$s=20$ 小时。如果这批灯泡的使用寿命服从正态分布，求 $\mu$ 与 $\sigma^2$ 的 $95 \%$ 的置信区间。 $\left(t_{0.025}(19)=2.1, \chi_{0.975}^2(19)=8.9, \chi_{0.025}^2(19)=32.9\right)$
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{cc}
\theta, & 0 < x < 1 \\
1-\theta, & 1 \leq x < 2 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\theta(0 < \theta < 1)$ 是未知参数，$X_1, X_2, \cdots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本，记 $N$为样本值 $x_1, x_2, \cdots, x_n$ 中小于 1 的个数。求：（1）$\theta$ 的矩估计；（2）$\theta$ 的最大似然估计。
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设事件 $A, B$ 满足 $0 < P(A) < 1,0 < P(B) < 1$ ，试证：$A$ 与 $B$ 独立的充要条件是 $P(A \mid B)+P(\bar{A} \mid \bar{B})=1$ 。