填空题 （共 8 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $A, B$ 为随机事件，
$$
P(A)=0.5, P(B)=0.6, P(B \mid A)=0.8
$$
则 $P(B \cup A)=$
三人独立的破译一个密码，他们能译出密码的概率分别为 $\frac{1}{5}, \frac{1}{4}, \frac{1}{3}$ ，此密码能被译出的概率为
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right), Y=e^X$ ，则 $Y$ 的分布密度函数为
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^2\right)$ ，且二次方程 $y^2+4 y+X=0$ 无实根的概率等于 0.5 ，则 $\mu=$
设 $D(X)=16, D(Y)=25, \rho_{X Y}=0.3$ ，则 $D(X+Y)=$
掷硬币 $\frac{1}{n}$ 次，正面出现次数的数学期望为
某型号螺丝钉的重量是相互独立同分布的随机变量，其期望是 1 两，标准差是 0.1 两，则 100 个该型号螺丝钉重量不超过 10.2 斤的概率近似为 $\qquad$ （答案用标准正态分布函数表示）．
设 $X_1, X_2, \cdots X_5$ 是来自总体 $X \sim N(0,1)$ 的简单随机样本，统计量 $C\left(X_1+X_2\right) / \sqrt{X_3^2+X_4^2+X_5^2}-t(n)$ ，则常数 $C=$ $\qquad$ ，自由度 $n=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
设袋中有 $m$ 只正品硬币，$n$ 只次品硬币（次品硬币的两面均有国徽），从袋中任取一只硬币，将它投掷 $r$ 次，已知每次都得到国徽．问这只硬币是正品的概率是多少？
设顾客在某银行窗口等待服务的时间（以分计）$X$ 服从指数分布，其概率密度函数为
$$
f(x)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{5} e^{-x / 5} & x>0 \\
0, & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
求等待超过10分钟的概率。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在边长为 $a$ 的正方形内服从均匀分布，该正方形的对角线为坐标轴，求：
（1）求随机变量 $X, Y$ 的边缘概率密度；
（2）求条件概率密度 $f_{X \mid Y}(x \mid y)$ ．
某型号电子管寿命（以小时计）近似地服从 $N\left(160,20^2\right)$分布，随机的选取四只，求其中没有一只寿命小于 180 小时的概率（答案用标准正态分布函数表示）。
某车间生产的圆盘其直径在区间 $(a, b)$ 服从均匀分布，试求圆盘面积的数学期望．
设 $X_1, X_2, \cdots X_n$ 是取自双参数指数分布总体的一组样本，密度函数为
$$
f(x ; \theta, \mu)=\left\{\begin{array}{cc}
\frac{1}{\theta} e^{-\frac{x-\mu}{\theta}}, & x>\mu \\
0, & \text { 其它 }
\end{array}\right.
$$
其中 $\mu, \theta>0$ 是未知参数，$x_1, x_2, \cdots, x_n$ 是一组样本值，求：
（1）$\mu, \theta$ 的矩法估计；
（2）$\mu, \theta$ 的极大似然估计．
假设 $\hat{\theta}$ 是 $\theta$ 的无偏估计，且有 $D(\hat{\theta})>0$ ，试证 $(\hat{\theta})^2$ 不是 $\theta^2$ 的无偏估计．
设 $X_1, X_2, \cdots, X_{n_1}$ 是来自总体 $X \sim N\left(\mu_1, \sigma_1{ }^2\right)$ 的一组样本，$Y_1, Y_2, \cdots, Y_{n_2}$ 是来自总体 $Y-N\left(\mu_2, \sigma_2{ }^2\right)$ 的一组样本，两组样本独立．其样本方差分别为 $S_1^2, S_2^2$ ，且设 $\mu_1, \mu_2$ ， $\sigma_1^2, \sigma_2^2$ 均为未知。欲检验假设
$$
H_0: \sigma_1^2=\sigma_2^2, \quad H_1: \sigma_1^2 < \sigma_2^2,
$$
显著性水平 $\alpha$ 事先给定．试构造适当检验统计量并给出拒绝域 （临界点由分位点给出）。