填空题 （共 9 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
若向量 $\vec{a}=(2,3,-2)$ 与 $\vec{b}=\left(1, \frac{3}{2}, m\right)$ 平行，则 $m=$ $\qquad$
将 $y O z$ 坐标面上的抛物线 $y^2=5 z$ 绕 $z$ 轴旋转一周，则所生成的旋转曲面方程为
设 $f_y^{\prime}(1,2)=1$ ，则 $\lim _{y \rightarrow 0} \frac{f(1,2+y)-f(1,2-y)}{y}=$
函数 $f(x, y)=\left(6 x-x^2\right)\left(4 y-y^2\right)$ 的极大值为
设 $D$ 是由直线 $x=0, y=0$ 和 $x+y=\frac{1}{2}$ 所围成的区域，则积分 $I_1=\iint_D \ln (x+y) d x d y$ 与 $I_2=\iint_D(x+y) d x d y$ 的大小是：$I_1$ $\qquad$ $I_2$ ．
设 $L$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ，其周长为 $a$ ，则 $\oint_L\left(2 x y+3 x^2+4 y^2\right) d s=$ $\qquad$
设 $\Sigma: x^2+y^2+z^2=a^2$ ，则 $\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2+z^2\right) d S=$
级数 $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{1}{\sqrt{n}}$ 是 $\qquad$的．（绝对收敛、条件收敛、发散）
级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{(2 n-1)(2 n+1)}=$
解答题 （共 8 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
一平面通过平面 $4 x-y+3 z-1=0$ 和 $x+5 y-z+2=0$ 的交线且与平面 $2 x-y+5 z-3=0$ 垂直，求该平面方程
设 $z=f(x+y, x y)$ ，且 $f$ 具有二阶连续偏导数，求 $\frac{\partial^2 z}{\partial x \partial y}$ ．
求曲面 $x^2-x y-8 x+z+7=0$ 在点 $(2,-1,3)$ 处的切平面方程．
计算 $I=\iint_D(2-x-y) d x d y$ ，其中 $D$ 是圆域：$x^2+y^2 \leqslant 4$ ．
计算三重积分 $\iiint_{\Omega}\left(x^4+x^2 y^2\right) d x d y d z$ ，其中 $\Omega$ 是由抛物面 $z=1-x^2-y^2$ 及平面 $z=0$ 所围成的闭区域．
计算 $\iint_{\Sigma} x^2 d y d z+y^2 d z d x+z^2 d x d y$ ，其中 $\Sigma$ 是平面 $x=0, y=0, z=0, x=a, y=a, z=a$ 所围成的立体的表面的外侧．
求幂级数 $ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^{2 n-1}}{2 n-1}$ 的和函数．
将函数 $f(x)=\frac{1}{x}$ 展开成 $(x-3)$ 的幂级数．
证明题 （共 1 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
证明曲线积分 $\oint_L \frac{y d x-x d y}{2\left(x^2+y^2\right)}=-\pi$ ，其中 $L$ 为圆周 $(x-1)^2+y^2=2, L$ 的方向为逆时针方向．