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试题 ID 10498
【所属试卷】
安徽大学2023年高等代数真题解答
若矩阵 $B$ 满足 $B^2=B$, 则称 $B$ 为幂等阵.
(1) 设 $B$ 是 $n$ 阶幂等阵, 证明: $r(B)+r(E-B)=n$, 其中 $r(B)$ 表示 $B$ 的秩, $E$ 为单位阵;
(2) 设 $B_1, B_2$ 都是 $n$ 阶幂等阵, $A=B_1 B_2$, 且 $r(A) < n$, 证明: $r(E-A) \leq 2 n-r\left(B_1\right)-r\left(B_2\right)$.
A
B
C
D
E
F
答案：
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解析：
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若矩阵 $B$ 满足 $B^2=B$, 则称 $B$ 为幂等阵.<br>(1) 设 $B$ 是 $n$ 阶幂等阵, 证明: $r(B)+r(E-B)=n$, 其中 $r(B)$ 表示 $B$ 的秩, $E$ 为单位阵;<br>(2) 设 $B_1, B_2$ 都是 $n$ 阶幂等阵, $A=B_1 B_2$, 且 $r(A) < n$, 证明: $r(E-A) \leq 2 n-r\left(B_1\right)-r\left(B_2\right)$. <div> </div> <br /> <br /> <b>答案</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div> <br /> <br /> <b>解析</b> <div> 答案与解析仅限VIP可见 </div>