为加深学生对新中国成立以来我国在经济建设、科技创新、精神文明建设等方面取得成就的了解，某学校高二年级组织举办了知识竞赛。选拔赛阶段采用逐一答题的方式，每位选手最多有 5 次答题机会，累计答对 3 道题则进入初赛，累计答错 3 道题则被淘汰．初赛阶段参赛者每两人一组进行比赛，组织者随机从准备好的题目中抽取 2 道试题供两位选手抢答，每位选手抢到每道试题的机会相等，得分规则如下：选手抢到试题且回答正确得 10 分，对方选手得 0 分，选手抢到试题但没有回答正确得 0 分，对方选手得 5 分， 2 道试题抢答完毕后得分少者被淘汰，得分多者进入决赛（若分数相同，则同时进入决赛）．
（1）已知选拔赛中选手甲答对每道试题的概率为 $\frac{2}{3}$ ，且回答每道试题是否正确相互独立，求甲进入初赛的概率；
（2）已知初赛中选手甲答对每道试题的概率为 $\frac{4}{5}$ ，对手答对每道试题的概率为 $\frac{3}{4}$ ，两名选手回答每道试题是否正确相互独立，求初赛中甲的得分 $Y$ 的分布列与期望；
（3）进入决赛后，每位选手回答 4 道试题，至少答对 3 道试题胜出，否则被淘汰，已知选手甲进入决赛，且决赛中前 3 道试题每道试题被答对的概率都为 $(p \in(0,1))$ ，若甲 4 道试题全对的概率为 $\frac{1}{16}$ ，求甲能胜出的概率的最小值．