证明：（1）$f(x), g(x)$ 均在 $[a, b]$ 上连续，则
$$
\left(\int_a^b f(x) g(x) \mathrm{d} x\right)^2 \leqslant \int_a^b f^2(x) \mathrm{d} x \cdot \int_a^b g^2(x) \mathrm{d} x
$$
（2）设 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续且恒大于零，则 $1 \leqslant \int_0^1 f(x) \mathrm{d} x \cdot \int_0^1 \frac{1}{f(x)} \mathrm{d} x$ ．