如图，在 $\triangle \mathrm{ABC}$ 中，点 $E$ 在线段 $B C$ 的延长线上，连接 $B D 、 D E, \angle A B D=\angle C D E, B D=D E$ ；
（1）如图 1，求证：$\triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形；
（2）如图 2，$B C=A B$ ，求证：$A D=C E$ ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 $A E$ ，点 $F$ 是线段 $B D$ 中点，连接 $A F, \angle B A F=2 \angle B E D, D H \perp A E$ 于点 $H$ ， $D H=\frac{9}{5}, \triangle A C E$ 的面积为 $\frac{19}{2}$ ，求线段 $A B$ 的长．
（1）如图 1，求证：$\triangle \mathrm{ABC}$ 是等腰三角形；
（2）如图 2，$B C=A B$ ，求证：$A D=C E$ ；
（3）如图 3，在（2）的条件下，连接 $A E$ ，点 $F$ 是线段 $B D$ 中点，连接 $A F, \angle B A F=2 \angle B E D, D H \perp A E$ 于点 $H$ ， $D H=\frac{9}{5}, \triangle A C E$ 的面积为 $\frac{19}{2}$ ，求线段 $A B$ 的长．