解答题 （共 29 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知二元函数 $f(x, y)$ 连续，利用积分中值定理求极限： $\lim _{r \rightarrow 0^{+}} \frac{1}{r^2} \iint_{x^2+y^2 \leq r^2} e ^{x-y} \cos \left(x y^2\right) d x d y$ ．
计算 $\iint_D x y d \sigma$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=1 、 x=2$ 及 $y=x$ 所围成的闭区域．
计算二重积分 $\iint_D\left(x^3+3 x^2 y+y^3\right) d x d y, \quad D$ 是由直线 $x=1, y=1$ 及两坐标轴围成的闭区域。
交换积分次序
（1） $\int_0^1 d y \int_0^y f(x, y) d x$ ；
（2） $\int_1^2 d x \int_{2-x}^{\sqrt{2 x-x^2}} f(x, y) d y$ ．
计算 $\iint_D\left(x^3 y^5-1\right) d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=-x, x=1$ 所围成．
计算二重积分 $\iint_D\left(x^3+3 x^2 y+3 x y^2+y^3\right) d x d y, D$ 是由直线 $x-y=0, x+y=0, y=1$ 及围成的闭区域．
已知 $D: x^2+y^2 \leq 2 x+2 y$ ，计算 $\iint_D(y-x) d x d y$ ．
已知 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 4\right\}$ ，则 $\iint_D \frac{x^2+2 x y-y^2}{x^2+y^2} d x d y=$ $\qquad$
设区域 $D$ 为 $x^2+y^2 \leq R^2$ ，计算 $\iint_D\left(\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\right) d x d y$ ．
计算二重积分 $\iint_D y^2 d x d y$ ，其中 $D$ 是由圆 $x^2+y^2=2 y$ 与 $y$ 轴在第一象限所围的部分．
设 $D$ 是由直线 $y=x, y=1$ 及 $y$ 轴围成的有界区域，计算二重积分 $\iint_D \frac{y^2}{x^2+y^2} d x d y$ ．
计算二重积分 $\iint_D y d x d y$ ，其中 $D$ 是由直线 $x=-2, y=0, y=2$ 以及曲线 $x=-\sqrt{2 y-y^2}$ 所围成的平面区域．
已知平面区域 $D=\left\{(x, y) \mid x^2+y^2 \leqslant 2 y\right\}$ ，计算二重积分 $\iint_D(x+1)^2 d x d y$ ．
求 $\iint_D x e ^{-y^2} d x d y$ ，其中 $D$ 是由曲线 $y=4 x^2, y=9 x^2$ 在第一象限围成的区域．（数三）
求 $\iiint_{\Omega} \frac{z^2}{c^2} d x d y d$ ．其中 $\Omega$ 是椭球体 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2} \leqslant 1$ ．
计算 $\iiint_{\Omega} x y z d x d y d z$ ，其中 $\Omega$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=1$ 及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体．
求曲面 $z=a+\sqrt{a^2-x^2-y^2}(a>0)$ 与曲面 $z=\sqrt{x^2+y^2}$ 所围成的立体 $\Omega$ 的体积．
求球面 $x^2+y^2+z^2=a^2$ 含在柱面 $x^2+y^2=a x(a>0)$ 内部的面积．
设薄片所占的闭区域 $D$ 为介于两个圆 $r=a \cos \theta, r=b \cos \theta(0 < a < b)$ 之间的闭区域，且面密度均匀，求此均匀薄片的质心（形心）．
计算 $\int_{\Gamma} \frac{1}{x^2+y^2+z^2} d s$ ，其中 $\Gamma$ 为曲线 $x= e ^{ t } \cos t, y= e ^{ t } \sin t, z= e ^{ t }$ 上相应于 $t$ 从 0 变到 2 的这段弧．
设 $l$ 为椭圆 $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ，其周长记为 $a$ ，则 $\oint_l\left(2 x y+3 x^2+4 y^2\right) d s=$ $\qquad$ ．
计算 $\int_L y d x+x d y$ ，其中 $L$ 为圆周 $x=R \cos t, y=R \sin t$ 上对应 $t$ 从 0 到 $\frac{\pi}{2}$ 的一段弧．
计算 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^2+y^2\right) d S$ ，其中 $\Sigma$ 为立体 $\sqrt{x^2+y^2} \leq z \leq 1$ 的边界．
计算 $\oint_{\Sigma} x z d x d y+x y d y d z+y z d z d x$ ，其中 $\Sigma$ 是平面 $x=0, y=0, z=0, x+y+z=1$ 所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧．
计算 $\oint_L(y-x) d x+(3 x+y) d y$ ．其中 $L:(x-1)^2+(y-4)^2=9$ ．
计算 $\iint_{\Sigma} x^3 d y d t+y^3 d d x+z^3 d x d y$ ，其中 $\Sigma$ 为球面 $x^2+y^2+z^2=a^2(z \geq 0)$ 的外侧．
计算曲面积分 $I=\oint_{\Sigma} \frac{x d y d z+y d x d z+z d x d y}{\left(x^2+y^2+z^2\right)^{3 / 2}}$ ，其中 $\Sigma$ 是曲面 $2 x^2+2 y^2+z^2=4$ 的外侧。
设有数量场 $u=\ln \sqrt{x^2+y^2+z^2}$ ，则
（1）gradu $=$ $\qquad$ ；（2） $\operatorname{div}(\operatorname{gradu})=$ $\qquad$ ；（3） $\operatorname{rot}($ gradu $)=$ $\qquad$ ．
设 $L$ 是柱面 $x^2+y^2=1$ 与平面 $y+z=0$ 的交线，从 $z$ 轴正向往 $z$ 轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分 $\oint_L z d x+y d z=$