计算 傅里叶变换
$ f(t)=\left\{\begin{array}{ll}
-1, & -1 < t < 0 \\
1, & 0 < t < 1 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array}\right. \text {; }$

计算 傅里叶变换
$f(t)= \begin{cases}e^{-t} \sin 2 t, & t \geqslant 0 \\ 0, & t < 0\end{cases}$

计算 傅里叶变换 $ f(t)=\frac{1}{2}\left[\delta(t+a)+\delta(t-a)+\delta\left(t+\frac{a}{2}\right)+\delta\left(t-\frac{a}{2}\right)\right] \text {. }$

计算傅里叶变换 $f(t)=t \sin t$ ；

计算傅里叶变换 $f(t)=u(5 t-2)$

计算傅里叶变换 $f(t)= e ^{ j \omega_0 t} u\left(t-t_0\right)$

计算傅里叶变换 $f(t)=\sin ^3 t$

求函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll}\sin t, & |t| \leqslant \pi \\ 0, & |t|>\pi\end{array}\right.$ 的傅里叶变换，并证明积分等式

$$
\int_0^{+\infty} \frac{\sin \omega \pi \sin \omega t}{1-\omega^2} d \omega= \begin{cases}\frac{\pi}{2} \sin t, & |t| \leqslant \pi \\ 0, & |t|>\pi\end{cases}
$$

求下列函数的卷积

$$
f(t)=t^2 u(t), \quad g(t)=\left\{\begin{array}{ll}
2, & 1 \leqslant t \leqslant 2 \\
0, & \text { 其他 }
\end{array} .\right.
$$

设 $f(t)$ 满足傅里叶积分定理的条件，试证明：
（1）$f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty} a(\omega) \cos \omega t d \omega+\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty} b(\omega) \sin \omega t d \omega$ ，其中

$$
a(\omega)=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \cos \omega \tau d \tau, \quad b(\omega)=\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} f(\tau) \sin \omega \tau d \tau
$$

（2）若 $f(t)$ 为奇函数，则有（正弦傅里叶积分公式）

$$
f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty} b(\omega) \sin \omega t d \omega \text {, 其中 } b(\omega)=\int_0^{+\infty} f(\tau) \sin \omega \tau d \tau \text {. }
$$
（3）若 $f(t)$ 为偶函数，则有（余弦傅里叶积分公式）

$$
f(t)=\frac{2}{\pi} \int_0^{+\infty} a(\omega) \cos \omega t d \omega \text {, 其中 } a(\omega)=\int_0^{+\infty} f(\tau) \cos \omega \tau d \tau \text {. }
$$

设 $F(\omega)= F [f(t)]$ ，证明：函数 $f(t)$ 为实值函数的充要条件为 $\overline{F(\omega)}=$ $F(-\omega)$ ．