解答题 （共 5 题 ），解答过程应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤
已知函数 $f(t)=\left\{\begin{array}{ll}2, & 0 \leqslant t < 2 \\ 3, & t \geqslant 2\end{array}\right.$ ，求函数 $f(t)$ 的拉普拉斯变换．
求下列函数的拉普拉斯变换
（1）$\delta(t) \cos t-u(t) \sin t$ ；
（2）$|\sin t|$ ；
（3）$t^2 u(t-2)$ ．
求函数 $f(t)=\frac{1- e ^{d t}}{t}$ 的拉普拉斯变换．
已知 $F(s)=\frac{s+1}{s^2+2 s-6}$ ，求 $F(s)$ 的拉普拉斯逆变换．
分别求下列函数的拉普拉斯逆变换 $f(t)= L ^{-1}[F(s)]$ ．
（1）$F(s)=\frac{s}{\left(s^2+a^2\right)^2}$ ；
（2）$F(s)=\frac{ e ^{-5 s}}{s^2-9}$ ；
（3）$F(s)=\ln \frac{s^2+1}{s^2}$ ；
（4）$F(s)=\arctan \frac{a}{s}$ ．