填空题 （共 6 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设 $f(x)$ 满足 $\int_0^x f(t-x) \mathrm{d} t=x \cos \pi x$, 则 $f\left(\frac{1}{2}\right)=$
若 $z(x, y)=\int_0^{+\infty} \mathrm{e}^{-\frac{u^2}{x^2+x y+y^2}} \mathrm{~d} u$, 则 $\frac{x}{z} \frac{\partial z}{\partial x}+\frac{y}{z} \frac{\partial z}{\partial y}=$
设函数 $f(x)$ 连续, $F(t)=\int_0^1 \mathrm{~d} x \int_1^{\frac{1}{x}} x^3 u f(x u) \mathrm{d} u$, 则 $F^{\prime}(t)=$
若 $y=\mathrm{e}^{-x}(1+2 x)+3 \mathrm{e}^x$ 是线性常系数微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=A \mathrm{e}^{-x}$ 的特解, 则常数 $A=$
极限 $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{\sin \frac{\pi}{n}}{n^2+1}+\frac{\sin \frac{2 \pi}{n}}{n^2+2}+\cdots+\frac{\sin \frac{n \pi}{n}}{n^2+n}\right)=$
设 $f(x)=x \int_x^\pi\left(\frac{\sin t}{t}\right)^2 \mathrm{~d} t$, 则 $f(x)$ 在 $[0, \pi]$ 上的平均值为