单选题 （共 6 题 ），每题只有一个选项正确
向量组 $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m(m \geq 2)$ 线性相关的充分必要条件是
$\text{A.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有一个零向量
$\text{B.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有两个向量成比例
$\text{C.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中每个向量都能由其余 $m-1$ 个向量线性表示
$\text{D.}$ $a_1, a_2, \cdots \cdots, a_m$ 中至少有一个向量可由其余 $m-1$ 个向量线性表示
已知方程组
$$
\left\{\begin{array}{l}
a_1 x+b_1 y+c_1 z=d_1 \\
a_2 x+b_2 y+c_2 z=d_2 \\
a_3 x+b_3 y+c_3 z=d_3
\end{array}\right.
$$
无解，记
$$
\boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{lll}
a_1 & b_1 & c_1 \\
a_2 & b_2 & c_2 \\
a_3 & b_3 & c_3
\end{array}\right], \quad \boldsymbol{b}=\left[\begin{array}{l}
d_1 \\
d_2 \\
d_3
\end{array}\right], \quad(\boldsymbol{X} \quad \boldsymbol{Y})
$$ 为分开矩阵，下列说法正确的是
①. $\boldsymbol{A x}=\mathbf{0}$ 有无穷多解
②. 若 $R(\boldsymbol{A})=2$, 则 $\boldsymbol{A}^* \boldsymbol{b}=\mathbf{0}$
③. $R\left(\begin{array}{ll}\boldsymbol{A} & \boldsymbol{b}\end{array}\right)-R(\boldsymbol{A})=2$ 是可能成立的
④. 若 $\boldsymbol{A}$ 有且仅有两行成比例, 则该方程组所对应的平面的交线个数为 2 个。
$\text{A.}$ ①④
$\text{B.}$ ①②③
$\text{C.}$ ①③
$\text{D.}$ ②④
设 $\boldsymbol{\beta}_1 、 \boldsymbol{\beta}_2$ 是非齐次线性方程组 $A X=\boldsymbol{b}$ 的两个不同解, $\boldsymbol{\alpha}_1 、 \boldsymbol{\alpha}_2$ 是对应的齐次线性 方程组 $A X=\mathbf{0}$ 的基础解系, $k_1 、 k_2$ 为任意常数, 则方程组 $A X=\boldsymbol{b}$ 的通解为
$\text{A.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_1+\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{B.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\alpha}_1-\boldsymbol{\alpha}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{C.}$ $\boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1-\boldsymbol{\beta}_2\right) $
$\text{D.}$ $ \boldsymbol{x}=k_1 \boldsymbol{\alpha}_1+k_2\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right)+\frac{1}{2}\left(\boldsymbol{\beta}_1+\boldsymbol{\beta}_2\right)$
设 $r(A)$ 和 $r(B)$ 分别表示某 $n$ 元非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩, 该方程组有解 当且仅当
$\text{A.}$ $r(A) < n$
$\text{B.}$ $r(A)>r(B)$
$\text{C.}$ $r(A) < r(B)$
$\text{D.}$ $r(A)=r(B)$
设 $\boldsymbol{A}$ 为 $n(n \geqslant 2)$ 阶矩阵, $\boldsymbol{B}$ 为 $n$ 阶可逆矩阵, $\boldsymbol{b}$ 为 $n$ 维列向量. 下列命题中, 错误的 是
$\text{A.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则方程组 $\boldsymbol{A B x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
$\text{B.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=\boldsymbol{b}$ 有解, 则方程组 $\boldsymbol{B A x}=\boldsymbol{b}$ 有解.
$\text{C.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, 则方程组 $\boldsymbol{A B x}=0$ 有非零解.
$\text{D.}$ 若方程组 $\boldsymbol{A x}=0$ 有非零解, 则方程组 $\boldsymbol{B A x}=0$ 有非零解.
设线性方程组 $A_{m \times n} \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}(m \leq n)$ 对于任意的 $m$ 维列向量 $\boldsymbol{b}$ 都有解, 则
$\text{A.}$ $R(A)=n$
$\text{B.}$ $ R(A)=m$
$\text{C.}$ $R(A)>n$
$\text{D.}$ $R(A) < m$