设 $f(x)=a_n x^n+\cdots+a_1 x+a_0$ 为整系数多项式, $a_n \neq 0$, 若有理数 $\frac{q}{p}$ 是 $f(x)$ 的根, 则必有 $p \mid a_0$, 且 $q \mid a_n$, 其中 $p, q$ 为互素的整数.

设 $\sigma$ 是欧氏空间 $V$ 上的线性变换, 则 $\sigma$ 是正交变换的充分必要条件是对任意的 $\alpha, \beta \in V$, 有 $\langle\alpha, \beta\rangle=\langle\sigma(\alpha), \sigma(\beta)\rangle$, 其中 $\langle\alpha, \beta\rangle$ 表示 $\alpha$ 与 $\beta$ 的夹角.

设线性空间 $V$ 上的线性变换 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 下的矩阵为 $\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 0 \\ 3 & 0 & -1 \\ 0 & 3 & 2\end{array}\right)$, 则 $\sigma$ 在基 $\varepsilon_1+\varepsilon_2+\varepsilon_3$, $\varepsilon_2+\varepsilon_3, \varepsilon_3$ 下的矩阵为

设矩阵 $A$ 的初等因子组为 $\lambda^2,(\lambda-1)^2,(\lambda-1)^2, \lambda+1,(\lambda+1)^3$, 则 $A$ 的最小多项式为

$T \in \mathcal{L}(V)$ 在一组基 $\varepsilon=\left(\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3\right)$ 下的矩阵为
$$
T(\varepsilon)=(\varepsilon)\left(\begin{array}{lll}
1 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 1 \\
0 & 0 & 2
\end{array}\right)
$$
求 $V$ 所有的 $T$-不变子空间.

试给出下列命题的真伪. 若命题为真, 请给出简要证明; 若命题为假, 请举出反例.
1. $T \in \mathcal{L}(V)$. 若子空间 $W \in V$ 在 $T$ 下不变, 则其补空间 $W^{\prime}$ 在 $T$ 下也不变;
2. 定义 $T \in \mathcal{L}(V, W): T v=\langle v, \alpha\rangle \beta, \beta \in W$ 对 $\forall v \in V$ 成立, 则 $T^* w=\langle w, \beta\rangle \alpha, \alpha \in V$ 对 $\forall w \in W$成立;
3. $T \in \mathcal{L}(V)$ 是非幕零算子, 满足 $\operatorname{null} T^{n-1} \neq \operatorname{null} T^{n-2}$. 则其极小多项式为
$$
m(\lambda)=\lambda^{n-1}(\lambda-a) \quad 0 \neq a \in \mathbb{R}
$$
4. $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{n \times n} . \mathbf{S}_1=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}+\mathbf{A}, \mathbf{S}_2=\mathbf{A}^{\mathrm{T}}-\mathbf{A}$. 则 $\mathbf{A}$ 是正规矩阵当且仅当 $\mathbf{S}_1 \mathbf{S}_2=\mathbf{S}_2 \mathbf{S}_1$.
5. $\mathbf{A} \in \mathbb{C}^{n \times n}$ 是正规矩阵, 则 $\mathbf{A}$ 的实部矩阵和虚部矩阵是对称矩阵.