单选题 （共 1 题 ），每题只有一个选项正确
设函数 $z=x y f\left(\frac{y}{x}\right)$, 其中 $f(u)$ 可导, 若 $x \frac{\partial z}{\partial x}+y \frac{\partial z}{\partial y}=x y(\ln y-\ln x)$, 则
$\text{A.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=0$
$\text{B.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=\frac{1}{2}$
$\text{C.}$ $f(1)=\frac{1}{2}, f^{\prime}(1)=1$
$\text{D.}$ $f(1)=0, f^{\prime}(1)=1$
填空题 （共 5 题 ），请把答案直接填写在答题纸上
设函数 $z=f(x, y)$ 的二阶偏导数存在, $\frac{\partial^2 z}{\partial y^2}=4$, 且 $f(x, 0)=2, f_y^{\prime}(x, 0)=x^2$, 则 $f(x, y)=$
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,2)$ 的某邻域内可微, 且 $f(x, y+2)=2+3 x+4 y+o(\rho)$, 其中 $\rho=$ $\sqrt{x^2+y^2}$, 则曲面 $z=f(x, y)$ 在点 $(0,2)$ 处的全微分为
设可微函数 $z=z(x, y)$ 满足 $x^2 \frac{\partial z}{\partial x}+y^2 \frac{\partial z}{\partial y}=2 z^2$, 又设 $u=x, v=\frac{1}{y}-\frac{1}{x}$,
$w=\frac{1}{z}-\frac{1}{x}$, 则对函数 $w=w(u, v)$, 偏导数 $\left.\frac{\partial w}{\partial u}\right|_{\substack{u=2 \\ v=1}}=$
设 $a>0$, 则均匀曲面 $x^2+y^2+z^2=a^2(x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0)$ 的重心坐标为
设 $z=f\left(x^2-y^2, x y\right)$, 且 $f(u, v)$ 有连续的二阶偏导数, 则 $\frac{\partial^2 z}{\partial y}=$